La solution particulière est encore la constante E que l'on doit ajouter aux
solutions trouvées pour u(t) dans les trois cas envisagés précédemment et qui
constitue donc le régime continu vers lequel tend le circuit. On aura donc avec
u(0) = 0 et i(0) = 0 :
Régime oscillatoire
u = E
1 − e −ω 0 t/2Q
cos ωt +
ω 0
2Qω
sin ωt
(7.21)
i = C E
ω 2
0
Cω
A e −ω 0 t/2Q
cos ωt +
ω 0
2Qω
sin ωt
(7.22)
Régime critique
u = E
1 − e
− R
2L
t
1 +
R
2L
t
(7.23)
i =
R 2 C E
4L 2 t e
− R
2L
t
(7.24)
7.3 CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL
Nous supposerons le régime sinusoïdal quasi-stationnaire, c'est-à-dire l'intensité du courant uniforme dans le circuit, ce qui est pratiquement toujours
réalisé à l'échelle du laboratoire, mais ne le serait pas pour des fils télégraphiques par exemple.
7.3.1 Méthode de la représentation complexe
La méthode de la représentation complexe est très utile pour déterminer l'amplitude et la phase à l'origine d'une fonction sinusoïdale résultant de la superposition de vibrations sinusoïdales. Elle est fondée sur la propriété suivante :
la partie réelle d'une combinaison linéaire de complexes est la combinaison
linéaire correspondante de leurs parties réelles. Elle simplifie toutes les opérations linéaires sur les fonctions sinusoïdales, y compris les opérations de
dérivation et d'intégration. Elle ne s'applique pas par contre aux calculs non
linéaires (calcul de la puissance électrique instantanée, par exemple).
᭿ Superposition d'oscillations du type y 1 = A 1 cos (ωt + ϕ 1 )
et y 2 = A 2 cos(ωt + ϕ 2 )
L'oscillation résultante est sinusoïdale de même fréquence, soit y =
A cos (ωt + ϕ). On en détermine l'amplitude A et la phase à l'origine de la
façon suivante.
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7 Réseaux électrocinétiques