On reconnaît l'équation d'un oscillateur linéaire amorti.
La nature des solutions dépend du caractère réel ou imaginaire des solutions
du polynôme caractéristique de cette équation différentielle (c'est-à-dire du
signe de son discriminant) :
r 2 +
ω 0
Q
r + ω 2
0 = 0
en posant :
1
LC
= ω 2
0
R
L
=
ω 0
Q
ω 0 =
1
√
LC
(7.12)
est la pulsation propre de l'oscillateur non amorti (soit pour R = 0) et
Q =
Lω 0
R
(7.13)
est le facteur de qualité de l'oscillateur.
Rappelons les différents cas en supposant u(0) = E et i(0) = 0 et en notant
que la présence de l'inductance impose la continuité du courant :
Régime oscillatoire amorti
(racines imaginaires conjuguées : Q < 1/2 et ω = ω 0
1 − 1/4Q 2 )
u = E e −ω 0 t/2Q
cos ωt +
ω 0
2Qω
sin ωt
(7.14)
i = −C E
ω 2
0
ω
e −ω 0 t/2Q sin ωt
(7.15)
190
7 Réseaux électrocinétiques
FIG. 7.11
La nature des solutions dépend du caractère réel ou imaginaire des solutions
du polynôme caractéristique de cette équation différentielle (c'est-à-dire du
signe de son discriminant) :
r 2 +
ω 0
Q
r + ω 2
0 = 0
en posant :
1
LC
= ω 2
0
R
L
=
ω 0
Q
ω 0 =
1
√
LC
(7.12)
est la pulsation propre de l'oscillateur non amorti (soit pour R = 0) et
Q =
Lω 0
R
(7.13)
est le facteur de qualité de l'oscillateur.
Rappelons les différents cas en supposant u(0) = E et i(0) = 0 et en notant
que la présence de l'inductance impose la continuité du courant :
Régime oscillatoire amorti
(racines imaginaires conjuguées : Q < 1/2 et ω = ω 0
1 − 1/4Q 2 )
u = E e −ω 0 t/2Q
cos ωt +
ω 0
2Qω
sin ωt
(7.14)
i = −C E
ω 2
0
ω
e −ω 0 t/2Q sin ωt
(7.15)
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7 Réseaux électrocinétiques
FIG. 7.11