1) Expliciter l’équation différentielle satisfaite par
v. Donner l’allure de la courbe
v(t). On prendra v(0) = 0.
2) Déduire de la relation entre le vecteur densité de courant j et le champ
E, en
régime permanent (t τ), l’expression de la conductivité σ 0 du matériau en fonction de n, e,τ et m.
3) Ce matériau est constitué d’un réseau cubique
d’atomes, d’arête d = 3 Å. On suppose que chaque
atome fournit un électron libre.
Calculer le nombre n d’électrons libres par m 3 . En
déduire la valeur de τ si σ 0 = 10 8 −1 · m −1 .
On donne :
m = 9 · 10 −31 kg ; e = 1,6 · 10 −19 C
4) On suppose, à présent, que le champ
E dépend du temps suivant la loi :
E =
E 0 e iωt
a) Déduire de la première question, l’équation différentielle satisfaite par j .
b) On pose :
j = σ(ω)
E 0 e iωt
Exprimer alors le rapport
σ(ω)
σ 0
.
c) Pour quelles valeurs de ω aura-t-on
σ 0 − |σ|
σ 0
< 0,01 ?
5) On suppose maintenant que
E est dû au déplacement des charges libres. On a la
relation :
div
E =
ρ
ε 0
où ρ est la densité volumique de charges.
a) Établir, à partir de l’équation différentielle de j et de l’équation de conservation
div j +
∂ρ
∂t
= 0, l’équation différentielle satisfaite par ρ.
b) On pose ρ = ρ 0 e αt et ω 2
p =
ne 2
mε 0
. Décrire la loi de variation de ρ en fonction de
t dans le cas où ω p τ 1.
Exercices
169
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
d