6.9. ASPECT ÉNERGÉTIQUE : LOI DE JOULE
6.9.1 Formulation locale
Reprenons l’équation du mouvement d’une charge q d’un conducteur sous
l’action d’un champ appliqué
E (cf. 6.4.2) :
m
d v
dt
+
m
τ
v = q
E
En multipliant par
v , il vient :
m
v ·
d v
dt
+
m
τ
v 2 = q
E · ·
v
Or :
E · ·
v =
E ·
− →
d
dt
= −
dV
dt
car
E ·
− →
d = −dV
où V est le potentiel. On en déduit :
d
dt
1
2
mv 2 + qV
= −
mv 2
τ
L’expression entre crochets n’est autre que l’énergie totale de la charge q,
composée de l’énergie cinétique
1
2
mv 2 et de l’énergie potentielle qV. Par
conséquent, la puissance dissipée par frottement par la charge q est
mv 2
τ
.
On en déduit que la puissance dissipée par unité de volume est :
p =
nmv 2
τ
où n est le nombre de porteurs par unité de volume, et comme v =
j
nq
et que σ =
nq 2 τ
m
, on peut écrire :
p =
m
nq 2 τ
j 2 =
j 2
σ
= j ·
E
d’où
p = σE 2
(6.24)
6.9 ASPECT ÉNERGÉTIQUE : LOI DE JOULE
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