6.4. CONDUCTIVITÉ ÉLECTRIQUE : LOI D’OHM LOCALE
Il s’agit d’exprimer la densité de courant j dans un conducteur, en fonction du
champ appliqué
E, en partant tout simplement du principe fondamental de la
dynamique appliqué à une particule de charge q et de masse m.
On suppose la variation de
E au cours du temps nulle ou faible en chaque
point du conducteur (régime stationnaire ou quasi stationnaire).
6.4.1 Premier modèle
m
d
V
dt
= q
E
⇒
V =
q
m
Et +
V 0
Visiblement, cette vitesse (et par conséquent j ) tend vers l’infini au cours du
temps, ce qui ne peut être satisfaisant. La solution consiste à envisager les
« chocs » multiples que subit la charge q dans son mouvement, notamment
sur les atomes du réseau cristallin.
Tout d’abord, la vitesse initiale
V 0 étant aléatoire, sa valeur moyenne
v 0 est
nulle. En désignant par τ le temps moyen séparant deux chocs successifs, la
vitesse de dérive s’écrit :
v = =
V =
q
E
m
τ
On en déduit :
j = ρ v =
nq 2 τ
m
E
puisque ρ = nq où n est le nombre de charges par unité de volume.
La relation cherchée s’écrit :
j = σ
E
(6.10)
où :
σ =
nq 2 τ
m
(6.11)
σ est la conductivité électrique du matériau, elle s’exprime en siemens par
mètre (s · m −1 ).
La loi j = σ
E constitue la loi d’Ohm dans sa forme locale, valable en tout
point du conducteur.
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6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs