Finalement, on obtient :
q 1 =
Q 0
C 1
e
− t
RC
+ Q 0
C 1
C 1 + C 2
b) Au cours de la décharge, le courant i
qui circule dans le circuit s’écrit :
i = −
dq 1
dt
=
Q 0
RC 1
e
− t
RC
L’énergie dissipée par effet Joule pendant le temps dt est :
dW J = Ri 2 dt =
Q
2
0
RC
2
1
e
− 2t
RC dt
W J =
Q
2
0
RC
2
1
∞
0
e
− 2t
RC dt =
Q
2
0
RC
2
1
RC
2
= Q
2
0
C
2RC
2
1
De plus,
C =
C 1 C 2
C 1 + C 2
⇒ W J =
Q
2
0 C 2
2C 1 (C 1 + C 2 )
c) Énergie du système à l’instant initial :
W 0 =
1
2
Q
2
0
C 1
Énergie du système à l’instant final :
W 1 + W 2 =
1
2
Q
2
0
C 1 + C 2
La variation d’énergie est donc :
W 0 − (W 1 + W 2 ) =
1
2
Q
2
0
1
C 1
−
1
C 1 + C 2
=
Q
2
0 C 2
2C 1 (C 1 + C 2 )
Par conséquent, elle correspond bien à l’énergie dissipée par effet Joule.
5.6. A) 1) E p = −ax
−6
+ bx
−12
dE p
dx
= 6ax
−7
− 12bx
−13
= 6x
−7
(a − 2bx
−6
)
dE p
dx
= 0 ⇒ x 0 =
2b
a
1/6
x 0 est une position d’équilibre.
144
5 Énergie électrostatique
q 1
Q 0
O
t
Q 0 C 1
C 1 +C 2