ou encore puisque ρ = Q
4
3
πR 3
E =
K Qr
R 3
e r
L’énergie emmagasinée dans la sphère elle-même est donc :
E p (int) =
τ
w dτ =
ε 0
2
K 2 Q 2
R 6
τ
r 2 dτ
En prenant encore dτ = 4πr 2 dr, on trouve :
E p (int) =
1
2
K Q 2
R 6
R
0
r 4 dr =
K Q 2
10R
Contribution de l’extérieur (r R) :
À l’extérieur de la sphère, le champ est donné par :
E =
K Q
r 2
e r
L’énergie contenue à l’extérieur est donc :
E p (ext) =
esp ext.
wdτ =
1
2
K Q 2
∞
R
dr
r 2
=
K Q 2
r 2
−
1
r
∞
R
=
K Q 2
2R
Énergie totale :
E p =
K Q 2
R
1
10
+
1
2
=
3
5
K Q 2
R
On retrouve bien le résultat précédent.
Exemple 3. Force d’attraction entre les armatures d’un condensateur
plan
On considère un condensateur plan dont les armatures ont une surface S et
sont écartées d’une distance x.
On suppose que l’armature inférieure A est fixe et que l’armature supérieure B
est susceptible de se déplacer sous l’action des forces électrostatiques qui
s’exercent entre les deux armatures.
5.7 EXEMPLES D’APPLICATIONS
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