et le potentiel régnant à la surface de la sphère est :
V =
K q
r
où q est la charge portée par la sphère à cet instant, soit :
q =
4
3
πr 3 ρ
L’énergie élémentaire acquise par la sphère est donc :
dE p = V dq
= K
4πr 3 ρ
3r
4πr 2 drρ
= K
16
3
π 2 ρ 2 r 4 dr
On en déduit :
E p = K ·
16
3
π 2 ρ 2
R
0
r 4 dr = K
16
15
π 2 ρ 2 R 5
et comme ρ = Q
4
3
πR 3 , on arrive finalement à la même expression de
l’énergie :
E p =
3
5
K Q 2
R
3 e méthode :
On utilise le fait que, une fois la sphère chargée, il existe en tout point de
l’espace (intérieur ou extérieur à la sphère) une densité volumique d’énergie :
w =
1
2
ε 0 E 2
où E est la norme du champ électrique créé par la sphère chargée, en ce
point.
Contribution de l’intérieur (r R) :
Si on se réfère encore au chapitre 3, paragraphe 7, exemple 2, le champ à
l’intérieur de la sphère est donnée par :
E =
ρr
3ε 0
e r
126
5 Énergie électrostatique