1 re méthode :
Soit ρ la densité de charge volumique supposée
uniforme.
D’après le paragraphe 2, on a :
E p =
1
2
τ
ρV dτ
où V est le potentiel au point courant M et τ est le volume de la sphère.
Si on se réfère au chapitre 3, paragraphe 7, exemple 2, le potentiel au point
M, à l’intérieur de la sphère est donnée par
V =
ρR 2
2ε 0
1 −
r 2
3R 2
En prenant comme volume élémentaire le volume d’une coquille sphérique
de rayon r, on a :
dτ = 4πr 2 dr
L’expression de l’énergie est donc :
E p =
1
2
ρ 2 R 2
2ε 0
4π
R
0
r 2
1 −
r 2
3R 2
dr
=
4π
15ε 0
ρ 2 R s
et comme ρ = Q
4
3
πR 3 , on peut finalement mettre cette énergie sous la
forme :
E p =
3
5
Q 2
4πε 0 R
=
3
5
K Q 2
R
2 e méthode :
On reconstitue la distribution sphérique de
charge, en amenant au fur et à mesure des pellicules sphériques de rayon r, r croissant de 0 à
R, de l’infini où le potentiel est nul, vers la
sphère de rayon r.
À un instant quelconque, la charge amenée est :
dq = 4πr 2 dr ρ
5.7 EXEMPLES D’APPLICATIONS
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
R
M
O r
R
O
r