La conservation de l’énergie, appliquée à l’ensemble du système isolé
(condensateur + source), s’exprime cette fois par :
dW + dF p = dE s
Nous avons vu (voir paragraphe 4) que l’énergie dépensée par la source est le
double de l’énergie emmagasinée dans le condensateur, soit dE s = 2dE p .
On en déduit
dW + dE p = 2dE p ⇒ dW = dE p
et comme dW =
F ·
− →
d , il vient :
F = +
− − →
grad E p
(à potentiel constant)
en tout point de la distribution de charge.
Il est important de remarquer le changement de signe dans l’expression de
F,
par rapport au cas où la charge reste constante.
5.7. EXEMPLES D’APPLICATION
Exemple 1. Énergie d’une sphère conductrice chargée
Si la sphère est conductrice et en équilibre, elle ne peut être chargée qu’en
surface (voir chapitre 4). Soit Q la charge portée par cette sphère, et C sa
capacité. Son énergie est donnée par :
E p =
1
2
Q 2
C
et, comme C = 4πε 0 R où R est le rayon de la sphère, on a :
E p =
1
2
Q 2
4πε 0 R
Exemple 2. Énergie d’une sphère chargée en volume
Il ne peut s’agir d’une sphère conductrice, car à l’équilibre, celle-ci ne peut
contenir des charges volumiques. Il s’agira donc plutôt d’une distribution
sphérique théorique : modèle d’une sphère diélectrique.
124
5 Énergie électrostatique