On amène d’abord q 1 en A 1 , où l’espace est vide. Le travail effectué est
W 1 = 0. q 1 étant en A 1 , on amène q 2 de l’infini en A 2 .
Travail effectué :
W 2 = K
q 1 q 2
A 1 A 2
q 1 étant en A 1 et q 2 en A 2 , on amène q 3 en A 3 .
Travail effectué :
W 3 = K
q 1 q 3
A 1 A 3
+
q 2 q 3
A 2 A 3
Travail total :
W = W 1 + W 2 + W 3 = E p
E p = K
q 1 q 2
A 1 A 2
+
q 2 q 3
A 2 A 3
+
q 1 q 3
A 1 A 3
Pour permettre une meilleure généralisation de cette expression, on peut procéder de la manière suivante : écrivons encore une fois cette même expression
de E p et ajoutons membre à membre les deux expressions. On obtient :
2E p = K
q 1
q 2
A 1 A 2
+
q 3
A 1 A 3
+ q 2
q 3
A 2 A 3
+
q 1
A 1 A 2
+ q 3
q 2
A 2 A 3
+
q 1
A 1 A 3
= (q 1 V 1 + q 2 V 2 + q 3 V 3 )
où V 1 est le potentiel résultant créé par les charges (q 2 ,q 3 ) au point A 1 , V 2 le
potentiel créé par les charges (q 3 ,q 1 ) au point A 2 , et V 3 le potentiel créé par
les charges (q 1 ,q 2 ) au point A 3 .
On a donc :
E p =
1
2
(q 1 V 1 + q 2 V 2 + q 3 V 3 )
soit, en généralisant au cas de n charges
E p =
1
2
n
i=1
q i V i
(5.2)
118
5 Énergie électrostatique