V 2 = X 2
e x + Y 2
e y + Z 2
e z
V = (
X 1 +
X 2 ) e x + (
Y 1 +
Y 2 ) e y + (
Z 1 +
Z 2 ) e z
1.2.2 Produit scalaire
S =
V 1 ·
V 2 S est un scalaire
Par définition S = V 1 V 2 cos α
où l’angle α est défini par α = (
V 1 ,
V 2 ).
• Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul.
• Pour les vecteurs unitaires
e x ,
e y ,
e z on a :
e x · ·
e y = =
e y · ·
e z = =
e z · ·
e x = 0
e x · ·
e x = =
e y · ·
e y = =
e z · ·
e z = 1
Expression cartésienne du produit scalaire
S = (X 1
e x +Y 1
e y + Z 1
e z ) · (X 2
e x +Y 2
e y + Z 2
e z ) = X 1 X 2 + Y 1 Y 2 + Z 1 Z 2
Exemple 1. Travail d’une force
Si
F est la force et
d le déplacement,
on a : W =
F ·
d = F d cos α
Si
F ⊥
d , le travail est nul.
Si α = (
d,
F) est aigu, le travail est
positif, il s’agit d’un travail moteur.
Si α est obtus, le travail est négatif, il
s’agit d’un travail résistant.
1.2.3 Produit vectoriel
P =
V 1 ∧
V 2
Par définition,
P est un vecteur
– perpendiculaire au plan (
V 1 ,
V 2 ),
– orienté de telle sorte que le trièdre
V 1 ,
V 2 ,
P soit direct,
1.2 VECTEURS
3
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
V 2
V 1
α
F
M
d
α
P
O
α
V 2
V 1