Par raison de symétrie, la force résultante exercée par la calotte inférieure sur la
calotte supérieure est donc parallèle à Oz et ascendante, de norme :
F z =
σ 2
2ε
S 1
cos α dS
où S 1 est la surface de la calotte supérieure.
En prenant dS = 2πR 2 sin α dα , on a :
S 1
cos α dS = 2πR
2
θ
0
sin α cos α dα = πR
2 sin
2 θ
D’où :
F z =
ε 0 V 2
2
π sin
2 θ
2) Si la coupure est dans le plan équatorial, θ =
π
2
et l’on a :
F z =
ε 0 V 2
2
π
La calotte se soulève si
M
2
g <
ε 0 V 2 π
2
, soit :
V >
Mg
ε 0 π
4.7. 1) S 1 crée en O 1 le potentiel :
V 1 (O 1 ) =
K Q 1
R 1
(S 2 ) et (S 3 ) créent en O 1 les potentiels :
V
1 (O 1 ) =
K Q 2
a
et V
1 (O 1 ) =
K Q 3
a
D’où le potentiel total en O 1 :
V 1 =
K
R
(Q 1 + αQ 2 + αQ 3 ) en posant α =
R
a
(α 1)
On aura de même, aux points O 2 et O 3 :
V 2 =
K
R
(αQ 1 + Q 2 + αQ 3 )
V 3 =
K
R
(αQ 1 + αQ 2 + Q 3 )
110
4 Conducteurs en équilibre
O 3
O 2
S 3
S 2
a
a
a
S 1
O 1