D’où, la capacité C l par unité de longueur :
C l =
λ
V + − V −
=
πε 0
ln
a
R
3) Application : méthode des images électriques.
a) L’ensemble (fil + sol) est équivalent à deux fils (A) et (B) parallèles, distants de
2 d, admettant le plan du sol (π) comme plan médiateur, et portant respectivement les
charges linéiques +λ et −λ.
Si le potentiel de (A) est +V 0 , celui de (B) est −V 0 et le plan (π) est bien au potentiel nul. Le fil (B) constitue l’image du fil (A) par rapport au plan (π).
106
4 Conducteurs en équilibre
2R
d
d
e r
V = 0
fil(B)
fil(A)
−λ 1 −V 0
+λ 1 +V 0
d
sol au potentiel zéro
(π)
D’après les résultats précédents, pour les deux conducteurs on a :
C l =
λ
V A − V B
=
λ
2V 0
=
πε 0
ln
2d
R
On en déduit pour le conducteur A par rapport au sol :
C
l =
λ
V A − 0
=
λ
V 0
=
2πε 0
ln
2d
R
=
1
2K ln
2d
R
b) Calcul de
E à la surface de A :
E = 2K λ
1
R
−
1
2d
e r
(2d R)
E
2K λ
R
e r =
V 0
R ln
2d
R
e r
C l =
λ
V + − V −
=
πε 0
ln
a
R
3) Application : méthode des images électriques.
a) L’ensemble (fil + sol) est équivalent à deux fils (A) et (B) parallèles, distants de
2 d, admettant le plan du sol (π) comme plan médiateur, et portant respectivement les
charges linéiques +λ et −λ.
Si le potentiel de (A) est +V 0 , celui de (B) est −V 0 et le plan (π) est bien au potentiel nul. Le fil (B) constitue l’image du fil (A) par rapport au plan (π).
106
4 Conducteurs en équilibre
2R
d
d
e r
V = 0
fil(B)
fil(A)
−λ 1 −V 0
+λ 1 +V 0
d
sol au potentiel zéro
(π)
D’après les résultats précédents, pour les deux conducteurs on a :
C l =
λ
V A − V B
=
λ
2V 0
=
πε 0
ln
2d
R
On en déduit pour le conducteur A par rapport au sol :
C
l =
λ
V A − 0
=
λ
V 0
=
2πε 0
ln
2d
R
=
1
2K ln
2d
R
b) Calcul de
E à la surface de A :
E = 2K λ
1
R
−
1
2d
e r
(2d R)
E
2K λ
R
e r =
V 0
R ln
2d
R
e r