On doit avoir :
4
9
n
= 3 · 10 −4 ⇒ n =
4 − log 3
log 9 − log 4
= 10
4.4. 1) La distribution de charge présente la symétrie
cylindrique : V ne dépend donc que de r et
E = −
− − →
grad V = −
dV
dr
e r est radial et ne dépend que
de r. La surface de Gauss sera un cylindre de rayon
r, de hauteur h ayant le même axe que le fil.
Le théorème de Gauss donne :
2πrh E =
λh
ε 0
⇒
E =
λ
2πε 0 r
e r =
2K λ
r
e r
On en déduit :
V (r) = −
E dr = −2K λ ln r + cte
V (∞) = 0 ⇒ cte = 0 ⇒ V = −2K λ ln r
2) a) a R : la densité linéique de charge de chaque fil ne change pas.
Le principe de superposition donne :
V (M) = V A (M) + V B (M)
= −2K λ ln r + 2K λ ln r
= −2K λ ln
r
r
On en déduit le potentiel de chaque conducteur :
• fil A :
r = R ; r = a − R a
V + = 2K λ ln
a
R
• fil B :
r = a − R a ; r = R
V − = 2K λ ln
R
a
= −V +
b) La différence de potentiel entre les deux conducteurs est donc :
V + − V − = 2V + = 4K λ ln
a
R
=
λ
πε 0
ln
a
R
Corrigés
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
h
r
λ > O
e r E (r)
− λ
+ λ
r
a
2R
(A)
2R
(B)
M
r'