On amène la sphère mobile (s) au contact de la sphère (S), puis au contact de P, et
de nouveau au contact de (S), puis de P, etc.
1) Au départ s est au contact de P. Calculer la charge q qu’elle porte, en fonction de
Q, r et a.
2) Calculer la charge Q 1 de (S) au premier contact avec (s) et la charge q
1 de (s) au
contact suivant avec P.
3) Par récurrence, quelle sera la charge Q n de (S) au n-ième contact avec (s) ?
4) A.N. : les sphères sont identiques et a = 9r. Au bout de combien de contacts la
charge de (S) sera de 10 000/3 plus faible que sa charge initiale ?
4.4. On considère un fil conducteur cylindrique infiniment long et mince, de rayon
R, portant une densité linéique de charge λ.
1) Par application du théorème de Gauss, calculer le champ
E(r) en un point situé à
la distance r de l’axe. En déduire le potentiel V (r) en ce point en supposant
V (∞) = 0.
2) Un deuxième fil identique portant la densité linéique
de charge −λ est placé parallèlement au premier fil à la
distance a.
R est suffisamment petit devant a pour que la répartition
des charges sur les conducteurs soit considérée comme
uniforme.
a) Calculer le potentiel en un point M à la distance r de
l’axe du premier fil et à la distance r du second. En
déduire le potentiel de chaque conducteur.
b) Quelle est la différence de potentiel entre les deux
fils ? En déduire la capacité par unité de longueur de cet
ensemble bifilaire.
A.N. : R = 2 mm ; a = 2 m ; K = 9.10 9 S.I. ; λ = 10 −8 C · m −1 .
3) Application : Un fil conducteur de rayon R = 0,5 cm parallèle au plan du sol, à
une hauteur de 4 m, est porté au potentiel V f = 1 kV.
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Exercices
99
−λ
+λ
a
2R
2R