– en appliquant le théorème de Gauss si des symétries favorables se présentent,
– en utilisant le principe de superposition des états d’équilibre (voir paragraphe 7).
On peut parfois utiliser une méthode dite méthode des images : elle consiste
à associer au problème A un problème B, sachant que les problèmes A + B et
A ont une solution commune dans la région de l’espace concernée, et que
A + B sera plus facile à résoudre.
Exemple 3. La méthode des images
On considère un plan conducteur (π), relié au sol, et soumis à l’influence
d’une charge ponctuelle +q placée au point P. On demande de déterminer la
densité de charge σ apparaissant sur (π), ainsi que la force d’attraction entre
+q et (π).
Le problème A étant défini ainsi : (charge + q
placée en P, plan conducteur (π) au potentiel
nul), il faut trouver un problème B qui, associé à A, donne un potentiel nul sur le plan (π).
La solution est évidente : une charge −q placée en P , symétrique de P par rapport à (π),
qui sera associée à +q en P en l’absence du
plan conducteur : l’ensemble des deux charges donnera bien un potentiel nul sur le plan
(π). On dit que la charge −q placée en P est
l’image de la charge +q placée en P par rapport au plan (π).
L’introduction de cette image facilite le calcul. En effet, le champ
E en tout
point de (π) s’obtient par :
E(M) =
E + +
E − = 2E + cos θ
u
E = 2K
q
r 2
a
r
=
aq
2πε 0 r 3 avec r =
a 2 + x 2
Théorème de Coulomb :
σ = ε 0 E ⇒ σ =
aq
2πr 3
La force exercée par le plan conducteur (π) sur la charge q est égale à la
force exercée par l’image −q sur la charge q
On trouve :
F = K
q 2
(2a) 2
u
4.10 MÉTHODES DE RÉSOLUTION
97
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
(π)
E+
M
r
E −
P'
– q
V = 0
a
u
+ q
P
θ
x
E