[V i ] = [D i j ][Q j ]
où la matrice D est la matrice inverse de la matrice C des coefficients
d’influence. Pour obtenir ces derniers, il suffira donc d’inverser la matrice
D, opération qui sera précisée dans l’exercice 7, où l’on considère le cas
d’un système de trois sphères conductrices.
Exemple 2. Sphères conductrices en influence
Soit deux sphères conductrices chargées, de rayons R 1 et R 2 , dont les
centres sont distants de d, tel que
d R 1 , R 2 . On demande de calculer
les coefficients de capacité C 11 , C 22
et les coefficients d’influence C 12 et
C 21 d’un tel système.
La superposition des états d’équilibre permet d’écrire :
V 1 = D 11 Q 1 + D 12 Q 2
V 2 = D 21 Q 1 + D 22 Q 2
La distance d étant très grande comparée à R 1 et R 2 , on peut assimiler le
potentiel de (S 1 ) dû à (S 2 ) au potentiel créé par (S 2 ) au centre O 1 , soit
K Q 2
d
.
En faisant de même pour le potentiel de (S 2 ) dû à (S 1 ), on peut écrire :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
V 1 =
K Q 1
R 1
+
K Q 2
d
V 2 =
K Q 1
d
+
K Q 2
R 2
⇒ D = K
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
R 1
1
d
1
d
1
R 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
La matrice C des coefficients de capacité et d’influence est alors obtenue en
prenant l’inverse de la matrice D. On trouve :
92
4 Conducteurs en équilibre
V 1
V 2
Q 1
Q 2
O 1
O 2
R 1
R 2
d
(S 1 )
(S 2 )
Dans la recherche des coefficients d’influence d’un système de conducteurs, il arrive que les équations soient plus faciles à écrire en exprimant
les potentiels en fonction des charges V = f (Q i ), plutôt que les charges
en fonction des potentiels Q = g(V i ). On arrive à une relation matricielle
de la forme :