C =
⎡
⎢
⎢
⎣
C 11 C 12 C 13
C 21 C 22 C 23
C 31 C 32 C 33
⎤
⎥
⎥
⎦
constitue la matrice des coefficients d’influence du système des trois conducteurs.
On peut généraliser la relation entre charges et potentiels à un système de n
conducteurs. Sous forme matricielle, cette relation s’écrit :
[Q i ] = [C i j ][V j ]
(4.6)
où les indices i et j varient entre 1 et n. Cette écriture signifie que, pour
chaque valeur de i, il faut sommer cette expression sur j.
Propriétés de la matrice C :
– elle est symétrique : C i j = C ji (identité de Gauss),
– les termes diagonaux sont positifs : C ii > 0, ils constituent les coefficients
de capacité,
– les termes non diagonaux sont négatifs : C i j < 0, ce sont les coefficients
d’influence.
᭿ Cas particulier d’un système de deux conducteurs en influence totale
On a :
Q 1 = C 11 V 1 + C 12 V 2
Q 2 = C 21 V 1 + C 22 V 2 avec C 21 = C 12
Si le corps (2) entoure le corps (1), l’influence est totale, on a alors :
Q 2 = −Q 1 ⇒ C 12 V 1 + C 22 V 2
= −C 11 V 1 − C 12 V 22
quels que soient V 1 et V 2 .
On en déduit :
C 11 = C 22 = −C 12
En posant C 11 = C, on peut écrire :
Q 1 = C(V 1 − V 2 )
(4.7)
Q 2 = C(V 2 − V 1 )
Le système constitue un condensateur et C représente sa capacité.
4.7 SYSTÈME DE n CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE
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V 1
V 2
Q 1
Q 2