18. Algèbre
(c) Si le moment d’inertie du corps rigide autour de son CM est I c , Trouver une expression pour la période de petites oscillations en fonction de d et I c , et montrer
ainsi :
1. qu’il y a deux valeurs de d, disons d 1 et d 2 , qui correspondent à une période
donnée ;
2. que la période est t = 2π(d 1 + d 2 )/g en fonction de d 1 et d 2 ;
3. que la période a une valeur minimum lorsque d =
√
I c /M (le rayon de gyration). Trouver cette valeur.
Exercice 17.29 Un certain ressort linéaire a une longueur au repos de D. Lorsqu’une
masse m est suspendue à son extrémité, il a une longueur D + A. Alors qu’il pend immobile avec la masse m attachée, une deuxième masse m est lâchée d’une hauteur A
sur la première, avec laquelle elle subit une collision inélastique. Trouver la période T ,
l’amplitude a, et la hauteur maximum H (au-dessus de la position d’équilibre initiale)
qui est atteinte dans le mouvement résultant.
Exercice 17.30 Un cintre de 20 g portant un poids de 5 g est suspendu à un ressort
vertical de masse négligeable. Lorsque le ressort est déplacé de l’équilibre le système
vibre verticalement suivant un mouvement harmonique simple de période π/3 s. Si le
poids de 5 g est remplacé par un poids de 25 g, à quelle hauteur z le ressort peut-il être
déplacé par rapport à l’équilibre si le poids ne doit pas sauter du cintre ?
18. ALGÈBRE
On se référera au Cours de Physique de Feynman, Mécanique 1, Chap. 22.
Le type de nombre le plus général qui satisfasse les règles de l’algèbre élémentaire
est un nombre complexe. Les nombres complexes peuvent être écrits comme la somme
d’un nombre purement réel (positif ou négatif) et d’un nombre imaginaire. Un nombre
imaginaire est un nombre réel (positif ou négatif) multiplié par i =
√ −1, le nombre
imaginaire unité. (Le nombre réel unité est 1 =
√ +1.)
(nombre complexe) u = (nombre réel) x + (nombre imaginaire) iy.
Toute équation algébrique reste vraie si on change le signe de i partout. Cela s’appelle
prendre le complexe conjugué. Si u = x + iy, alors le complexe conjugué de u, écrit u ∗ ,
est u ∗ = x − iy.
Les règles de l’algèbre, appliquées aux nombres complexes, montrent que :
I. (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).
II. (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
III. |u| =
√
uu ∗ =
x 2 + y 2 est appelé la grandeur de u.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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(c) Si le moment d’inertie du corps rigide autour de son CM est I c , Trouver une expression pour la période de petites oscillations en fonction de d et I c , et montrer
ainsi :
1. qu’il y a deux valeurs de d, disons d 1 et d 2 , qui correspondent à une période
donnée ;
2. que la période est t = 2π(d 1 + d 2 )/g en fonction de d 1 et d 2 ;
3. que la période a une valeur minimum lorsque d =
√
I c /M (le rayon de gyration). Trouver cette valeur.
Exercice 17.29 Un certain ressort linéaire a une longueur au repos de D. Lorsqu’une
masse m est suspendue à son extrémité, il a une longueur D + A. Alors qu’il pend immobile avec la masse m attachée, une deuxième masse m est lâchée d’une hauteur A
sur la première, avec laquelle elle subit une collision inélastique. Trouver la période T ,
l’amplitude a, et la hauteur maximum H (au-dessus de la position d’équilibre initiale)
qui est atteinte dans le mouvement résultant.
Exercice 17.30 Un cintre de 20 g portant un poids de 5 g est suspendu à un ressort
vertical de masse négligeable. Lorsque le ressort est déplacé de l’équilibre le système
vibre verticalement suivant un mouvement harmonique simple de période π/3 s. Si le
poids de 5 g est remplacé par un poids de 25 g, à quelle hauteur z le ressort peut-il être
déplacé par rapport à l’équilibre si le poids ne doit pas sauter du cintre ?
18. ALGÈBRE
On se référera au Cours de Physique de Feynman, Mécanique 1, Chap. 22.
Le type de nombre le plus général qui satisfasse les règles de l’algèbre élémentaire
est un nombre complexe. Les nombres complexes peuvent être écrits comme la somme
d’un nombre purement réel (positif ou négatif) et d’un nombre imaginaire. Un nombre
imaginaire est un nombre réel (positif ou négatif) multiplié par i =
√ −1, le nombre
imaginaire unité. (Le nombre réel unité est 1 =
√ +1.)
(nombre complexe) u = (nombre réel) x + (nombre imaginaire) iy.
Toute équation algébrique reste vraie si on change le signe de i partout. Cela s’appelle
prendre le complexe conjugué. Si u = x + iy, alors le complexe conjugué de u, écrit u ∗ ,
est u ∗ = x − iy.
Les règles de l’algèbre, appliquées aux nombres complexes, montrent que :
I. (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).
II. (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
III. |u| =
√
uu ∗ =
x 2 + y 2 est appelé la grandeur de u.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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