Exercices pour le cours de physique de Feynman
Un nombre réel élevé à une puissance imaginaire est complexe et a une grandeur égale
à un. La partie réelle et la partie imaginaire se comportent comme des fonctions sinus et
cosinus lorsque la grandeur de la puissance imaginaire s’accroît.
On a notamment,
IV. e iθ = cos θ + i sin θ.
Exercice 18.1 Dans l’équation
u + iv = (a + ib)(c + id)
soit b/a = tan α et d/c = tan β. en utilisant l’équation II ci-dessus et les formules de
trigonométrie, montrer que :
(a)
√
u 2 + v 2 =
√
a 2 + b 2
√
c 2 + d 2 ,
(b) v/u = tan (α + β).
Exercice 18.2 Faire l’exercice 18.1 en utilisant l’équation IV ci-dessus.
Exercice 18.3 Montrer que :
cos θ = (e
iθ
+ e
−iθ )/2,
sin θ = (e
iθ
− e
−iθ )/2i.
Exercice 18.4 Montrer que :
(a + ib)/(c + id) = [ac + bd + i(bc − ad)]/(c
2
+ d
2 ).
Exercice 18.5 Les quantités cosh θ et sinh θ, définies par
cosh θ = (e
θ
+ e
−θ )/2,
sinh θ = (e
θ
− e
−θ )/2,
sont nommées cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique de θ. Montrer que :
cos iθ = cosh θ,
sin iθ = i sinh θ,
cosh
2
θ − sinh
2
θ = 1.
Exercice 18.6 En employant la formule fondamentale de la différenciation
d f
dx
(x) = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x)
Δx
,
montrer que :
de αx
dx
= αe
αx .
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