2. Mathématiques de la mécanique quantique I : dimension finie
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2.5.9 Matrices normales
Une matrice C est dite normale si elle commute avec la matrice hermitienne conjuguée
C
† C = CC
†
En écrivant :
C =
1
2
(C + C
† )+i
1
2i
(C − C
† )=A + iB
montrer que C est diagonalisable.
2.5.10 Matrices positives
Une matrice A est dite positive si, quel que soit le vecteur |ϕ =0,lav aleur
moyenne est réelle et positive : ϕ|A|ϕ≥0. Elle est dite strictement positive
si ϕ|A|ϕ > 0.
1. Montrer que toute matrice positive est hermitienne et qu’une condition
nécessaire et suffisante pour qu’une matrice soit positive est que ses valeurs
propres soient toutes ≥ 0.
2. Montrer que dans un espace de Hilbert réel, où une matrice hermitienne est symétrique (A = A
T ), une matrice positive n’est pas en général
symétrique.
2.5.11 Identités opératorielles
1. Soit l’opérateur f (t) fonction du paramètre t
f (t)=e
tA Be
−tA
où les opérateurs A et B sont représentés par des matrices N × N .M o n t r e r
que
df
dt
=[A, f (t)]
d
2 f
dt 2 =[A, [A, f (t)]],
etc.
En déduire
e
tA Be
−tA = B +
t
1!
[A, B]+
t
2
2!
[A, [A, B]] + ...
(2.70)
2. On suppose que A et B commutent tous deux avec leur commutateur
[A, B]. Écrire une équation différentielle pour l’opérateur
g(t)=e
At e
Bt
et en déduire
e
A+B = e
A e
B e
−
1
2 [A,B]
(2.71)
Attention ! Cette identité n’est pas généralement valable. Elle n’est garantie que si [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0. Montrer également avec les mêmes
hypothèses
e
A
e
B = e
B
e
A
e
[A,B]
(2.72)