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Physique quantique : Fondements
2.5.12 Indépendance du produit tensoriel par rapport
au choix de la base
Vérifier que la définition (2.49) du produit tensoriel de deux vecteurs est
bien indépendante du choix de la base dans H A et H B .
2.5.13 Produit tensoriel de deux matrices 2 × 2
Écrire explicitement la matrice 4 × 4 A ⊗ B produit tensoriel des matrices
2 × 2 A et B
A =
ab
cd
B =
αβ
γδ
2.5.14 Propriétés de symétrie de |Φ
Une propriété remarquable de |Φ (2.63) est son invariance par application
des matrices du groupe SL(2, C), groupe des matrices complexes 2 × 2 de
déterminant unité (chapitre 19)
A =
αβ
γδ
αδ − βγ =1
La transformation d’un vecteur |ϕ s’écrit : |ϕ→| ϕ
′ = A|ϕ. Les transformés de |+ et |−− sont
|+
′ = A|+ = α|+ + γ|−−
|−−
′ = A|−− = β|+ + δ|−−
Calculer | + −−
′ =( A ⊗ A)| + − et |−+
′ =( A ⊗ A)|−+ et montrer que
le transformé de |Φ est
|Φ
′ =
1
√
2
| + −−
′ −|−+
′
=(αδ − βγ)|Φ = |Φ
Un sous-groupe de SL(2, C) est le groupe SU(2) des matrices unitaires de
dimension deux et de déterminant unité. Ce sous-groupe est relié de façon
remarquable au groupe des rotations, et nous venons de montrer en particulier
que |Φ est invariant par rotation.
2.6 Bibliographie
Le résultats sur les espaces vectoriels de dimension finie et les opérateurs se
trouvent dans tout cours d’algèbre linéaire niveau première année de licence.
Comme complément, on pourra consulter Isham [1995], chapitres 2 et 3 ou
Nielsen et Chuang [2001], chapitre 2, où l’on trouvera une démonstration
élégante du théorème de décomposition spectrale d’un opérateur hermitien.