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Physique quantique : Fondements
2.5.6 Propriétés des projecteurs
1. Si P 1 et P
′
1 sont des projecteurs sur H 1 et H
′
1 , respectivement, P 1 P
′
1
est un projecteur si et seulement si P 1 P
′
1 = P
′
1 P 1 . P 1 P
′
1 projette alors sur
l’intersection H 1 ∩H
′
1 .
2. P 1 + P
′
1 est un projecteur si et seulement si P 1 P
′
1 =0. Dans ce cas, H 1
et H
′
1 sont orthogonaux et P 1 + P
′
1 projette sur la somme directe H 1 ⊕H
′
1 .
3. Si P 1 P
′
1 = P
′
1 P 1 ,a l o r sP 1 + P
′
1 −P 1 P
′
1 projette sur l’union H 1 ∪H
′
1 .
La propriété 2 est un cas particulier de ce résultat.
4. Soit un opérateur Ω tel que Ω
† Ω soit un projecteur
Ω
† Ω=P
Montrer que ΩΩ
†
est aussi un projecteur. Suggestion : montrer que
Ω|ϕ =0⇐⇒ P | ϕ =0
2.5.7 Intégrale gaussienne
Soit A une matrice réelle N × N symétrique et strictement positive (cf.
exercice 2.5.10). Montrer que l’intégrale multiple
I(b)=
N
i=1
dx i exp
−
1
2
jk
x j A jk x k + b j x j
vaut
I(b)=
(2π)
N/2
√
det A
exp
1
2
jk
b j A
−1
jk b k
(2.69)
Suggestion : écrire
jk
x j A jk x k = x
T Ax = x|A|x
où x est un vecteur colonne et x
T
un vecteur ligne et effectuer le changement
de variables
x
′ = x − A
−1 b
Ces intégrales gaussiennes sont fondamentales en théorie des probabilités et
interviennent dans nombre de problèmes de physique.
2.5.8 Commutateurs et valeur propre dégénérée
Soit trois matrices N × NA , B et C qui vérifient
[A, B]=0 [A, C]=0 [B, C] =0
Montrer qu’au moins une valeur propre de A est dégénérée.