2. Mathématiques de la mécanique quantique I : dimension finie
67
2.5.3 Déterminant et trace
1. Soit une matrice A(t) dépendant d’un paramètre t vérifiant
dA(t)
dt
= A(t) B
Montrer que A(t)=A(0) exp(Bt). Quelle est la solution de
dA(t)
dt
= BA(t)?
2. Montrer que
det e
At1 × det e
At2 =dete
A(t1+t2)
En déduire
det e
A = e
Tr A
ou de façon équivalente
det B = e
Tr ln B
(2.67)
Suggestion : obtenir une équation différentielle pour la fonction g(t)=
det[exp(At)]. Les résultats sont évidents si A est diagonalisable.
2.5.4 Projecteur dans R
3
Soit dans l’espace réel à trois dimensions R
3
deux vecteurs u 1 et u 2 linéairement indépendants, mais non nécessairement orthogonaux et de norme
quelconque, et P le projecteur sur le plan défini par ces deux vecteurs. Montrer
que l’action de P sur un vecteur
V s’écrit
P
V =
2
i,j=1
C
−1
ij (
V · u i ) u j
(2.68)
où la matrice 2 × 2 C ij = u i · u j .
2. Généralisation : soit p vecteurs linéairement indépendants u 1 ,...,, u p
dans R
N
, p p vecteurs.
2.5.5 Théorème de la projection
Soit H 1 un sous-espace vectoriel de H et |ϕ∈H . Montrer qu’il existe
alors un élément unique |ϕ 1 de H 1 tel que la norme ||ϕ 1 − ϕ|| soit minimale :
||ϕ 1 − ϕ|| est la distance de |ϕ à H 1 . Déterminer |ϕ 1 .