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Physique quantique : Fondements
2.5 Exercices
2.5.1 Produit scalaire et norme
1. Soit une norme ||ϕ|| dérivant d’un produit scalaire : ||ϕ||
2 =( ϕ, ϕ).
Montrer que cette norme vérifie l’inégalité triangulaire
||χ + ϕ|| ≤ ||χ|| + ||ϕ||
ainsi que
||χ|| − ||ϕ||
≤||χ + ϕ||
2. Vérifier également
||χ + ϕ||
2 + ||χ − ϕ||
2 =2(||χ||
2 + ||ϕ||
2 )
Quelle est l’interprétation de cette égalité dans le plan réel R
2
? Inversement
si une norme vérifie cette propriété dans un espace vectoriel réel,mon trerque
(ϕ, χ)=(χ, ϕ)=
1
4
||χ + ϕ||
2 −||χ − ϕ||
2
définit un produit scalaire. Ce produit scalaire doit vérifier
(χ, ϕ 1 + ϕ 2 )=(χ, ϕ 1 )+(χ, ϕ 2 )( χ, λϕ)=λ(χ, ϕ)
Dans le cas d’un espace vectoriel complexe, montrer que
(χ, ϕ)=
1
4
||χ + ϕ||
2 −||χ − ϕ||
2
− i
||χ + iϕ||
2 −||χ − iϕ||
2
2.5.2 Commutateurs et traces
1. Montrer que
[A, BC]=B[A, C]+[A, B]C
(2.64)
2. La trace (2.23) d’un opérateur est la somme des éléments diagonaux de
sa matrice représentative dans une base donnée. Montrer que
Tr AB =T rBA
(2.65)
et en déduire que la trace est invariante dans un changement de base A →
A
′ = SAS
−1
. La trace d’un opérateur est (heureusement !) indépendante de
la base.
3. Montrer que la trace est invariante par permutation circulaire
Tr ABC =T rBCA =T rCAB
(2.66)