2. Mathématiques de la mécanique quantique I : dimension finie
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qui seront notés génériquement |ε,ε = ±1. Suivant (2.49), les états de H A ⊗
H B se décomposent sur la base orthonormée ε A ⊗ ε B
| + A ⊗+ B ,
| + A ⊗− B ,
|− A ⊗+ B ,
|− A ⊗− B
(2.59)
Comme ci-dessus, on peut éliminer les indices A et B et écrire les vecteurs de
base simplement
| + ⊗+,
| + ⊗−−,
|−⊗+,
| − ⊗−−
(2.60)
Suivant (2.57), on omettra souvent la notation produit tensoriel en écrivant
|ε A ε B au lieu de |ε A ⊗ ε B ou bien | ++ au lieu de | + ⊗+. Donnons un
exemple de construction explicite d’un produit tensoriel : soit |ϕ et |χ deux
vecteurs arbitraires (normalisés) de H A et de H B
|ϕ = λ A |+ + µ A |−−
|λ A |
2 + |µ A |
2 =1
|χ = λ B |+ + µ B |−−
|λ B |
2 + |µ B |
2 =1
Le produit tensoriel |ϕ ⊗ χ est donné suivant (2.49) par
|ϕ⊗ χ = λ A λ B |+ ⊗++ λ A µ B |+ ⊗−−+ µ A λ B |−⊗++ µ A µ B |−⊗−− (2.61)
Un vecteur générique |Ψ∈H AB est de la forme
|Ψ = α| + ⊗+ + β| + ⊗−− + γ|−⊗+ + δ| − ⊗−−
(2.62)
Les nombres α,...,δ sont arbitraires, en dehors de la condition de normalisation |α|
2 + ··· + |δ|
2 =1 . Une condition nécessaire (et en fait suffisante)
pour que |Ψ puisse se mettre sous la forme (2.61) est que αδ = βγ,e ta
priori cette condition n’a aucune raison d’être valide. Un vecteur |Ψ générique (2.62) n’est pas un produit tensoriel, et un vecteur qui n’est pas de la
forme (2.61) est ce que nous appellerons au chapitre 11 un état intriqué. Un
cas particulier important que nous utiliserons au chapitre 11 est l’état intriqué
|Φ =
1
√
2
| + ⊗−−−|−⊗+
ou en notation allégée (2.57)
|Φ =
1
√
2
| + −− − | − +
(2.63)
Cet état est manifestement intriqué car α = δ =0et β = γ =1 /
√
2 :
αδ = βγ. Il possède des propriétés de symétrie tout à fait remarquables :
exercice 2.5.13.