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Physique quantique : Fondements
En général on ne pourra pas écrire le vecteur |Φ AB comme un produit tensoriel |ϕ ⊗ χ. En effet, il faudrait que l’on puisse factoriser b im sous la forme
c i d m , ce qui est impossible sauf si les systèmes sont indépendants.
Le produit tensoriel C = A ⊗ B de deux opérateurs linéaires A et B
agissant respectivement dans les espaces H A et H B est défini par son action
sur le vecteur produit tensoriel |ϕ ⊗ χ
(A ⊗ B)|ϕ ⊗ χ = |Aϕ ⊗ Bχ
(2.52)
et ses éléments de matrice dans la base |i ⊗ m de H A ⊗H B sont donc
j ⊗ p|A ⊗ B|i ⊗ m = A ji B pm
(2.53)
En général, un opérateur C agissant sur H A ⊗H B n’est pas de la forme A⊗ B.
S e sé l é m e n t sd em a t r i c es o n t
j ⊗ p|C|i ⊗ m = C jp;im
et sauf cas particulier on ne peut pas écrire C jp;im sous la forme factorisée
A ji B pm . Deux cas particuliers intéressants de (2.52) sont A = I A et B = I B ,
où I A et I B sont les opérateurs identité de H A et de H B
(A ⊗ I B )|ϕ ⊗ χ = |Aϕ ⊗ χ
(I A ⊗ B)|ϕ ⊗ χ = |ϕ ⊗ Bχ
(2.54)
En termes d’éléments de matrice
j ⊗ p|A ⊗ I B |i ⊗ m = A ji δ pm
j ⊗ p|I A ⊗ B|i ⊗ m = δ ji B pm (2.55)
Enfin, si |ϕ est vecteur propre de A avec la valeur propre a (A|ϕ = a|ϕ),
alors |ϕ ⊗ χ sera vecteur propre de A ⊗ I B avec la valeur propre a
(A ⊗ I B )|ϕ ⊗ χ = a|ϕ ⊗ χ
(2.56)
On omet souvent d’écrire explicitement les opérateurs identité I A et I B ,e t
une écriture courante pour (2.56) est
A|ϕ ⊗ χ = a|ϕ ⊗ χ ou simplement A|ϕχ = a|ϕχ
(2.57)
en supprimant le symbole du produit tensoriel. Comme la notation ⊗ est assez
lourde, elle sera souvent omise sauf s’il y a une ambiguïté possible.
2.4.2 Espaces de dimension d =2
Nous allons illustrer la notion de produit tensoriel en construisant l’espace
produit tensoriel de deux espaces de dimension d =2 , H A et H B .L ’ e s p a c e
produit tensoriel H AB ≡H A ⊗H B est à quatre dimensions (4=2× 2). On
choisit comme base orthonormée de H A et de H B les états de base |+ et |−−
|+ =
1
0
|−− =
0
1
(2.58)
Physique quantique : Fondements
En général on ne pourra pas écrire le vecteur |Φ AB comme un produit tensoriel |ϕ ⊗ χ. En effet, il faudrait que l’on puisse factoriser b im sous la forme
c i d m , ce qui est impossible sauf si les systèmes sont indépendants.
Le produit tensoriel C = A ⊗ B de deux opérateurs linéaires A et B
agissant respectivement dans les espaces H A et H B est défini par son action
sur le vecteur produit tensoriel |ϕ ⊗ χ
(A ⊗ B)|ϕ ⊗ χ = |Aϕ ⊗ Bχ
(2.52)
et ses éléments de matrice dans la base |i ⊗ m de H A ⊗H B sont donc
j ⊗ p|A ⊗ B|i ⊗ m = A ji B pm
(2.53)
En général, un opérateur C agissant sur H A ⊗H B n’est pas de la forme A⊗ B.
S e sé l é m e n t sd em a t r i c es o n t
j ⊗ p|C|i ⊗ m = C jp;im
et sauf cas particulier on ne peut pas écrire C jp;im sous la forme factorisée
A ji B pm . Deux cas particuliers intéressants de (2.52) sont A = I A et B = I B ,
où I A et I B sont les opérateurs identité de H A et de H B
(A ⊗ I B )|ϕ ⊗ χ = |Aϕ ⊗ χ
(I A ⊗ B)|ϕ ⊗ χ = |ϕ ⊗ Bχ
(2.54)
En termes d’éléments de matrice
j ⊗ p|A ⊗ I B |i ⊗ m = A ji δ pm
j ⊗ p|I A ⊗ B|i ⊗ m = δ ji B pm (2.55)
Enfin, si |ϕ est vecteur propre de A avec la valeur propre a (A|ϕ = a|ϕ),
alors |ϕ ⊗ χ sera vecteur propre de A ⊗ I B avec la valeur propre a
(A ⊗ I B )|ϕ ⊗ χ = a|ϕ ⊗ χ
(2.56)
On omet souvent d’écrire explicitement les opérateurs identité I A et I B ,e t
une écriture courante pour (2.56) est
A|ϕ ⊗ χ = a|ϕ ⊗ χ ou simplement A|ϕχ = a|ϕχ
(2.57)
en supprimant le symbole du produit tensoriel. Comme la notation ⊗ est assez
lourde, elle sera souvent omise sauf s’il y a une ambiguïté possible.
2.4.2 Espaces de dimension d =2
Nous allons illustrer la notion de produit tensoriel en construisant l’espace
produit tensoriel de deux espaces de dimension d =2 , H A et H B .L ’ e s p a c e
produit tensoriel H AB ≡H A ⊗H B est à quatre dimensions (4=2× 2). On
choisit comme base orthonormée de H A et de H B les états de base |+ et |−−
|+ =
1
0
|−− =
0
1
(2.58)