2. Mathématiques de la mécanique quantique I : dimension finie
63
L’espace H
dA
A ⊗H
dB
B sera défini comme un espace à d A d B dimensions où les
couples {|i, |m},n o t é s|i ⊗ m,o u|i⊗|m, forment une base orthonormée
j ⊗ p |i ⊗ m = δ ji δ pm
(2.48)
et le produit tensoriel des vecteurs |ϕ et |χ,n o t é|ϕ ⊗ χ,o u|ϕ⊗|χ,e s t
le vecteur de composantes c i d m dans cette base
|ϕ ⊗ χ =
i,m
c i d m |i ⊗ m
(2.49)
On vérifie immédiatement la linéarité de l’opération produit tensoriel
|ϕ ⊗ (χ 1 + λχ 2 ) = |ϕ ⊗ χ 1 + λ|ϕ ⊗ χ 2
|(ϕ 1 + λϕ 2 ) ⊗ χ = |ϕ 1 ⊗ χ + λ|ϕ 2 ⊗ χ
(2.50)
Il faut également vérifier que la définition du produit tensoriel est indépendante du choix de la base. Soit | ˜
k et |˜ n deux bases orthonormées de H A et
H B déduites des bases |i et |m par des transformations unitaires respectives
R (R
−1 = R
† ) et S (S
−1 = S
† )
| ˜
k =
i
R ki |i| ˜
p =
m
S pm |m
D’après (2.49), le produit tensoriel | ˜
k ⊗ ˜
p est donné par
| ˜
k ⊗ ˜
p =
k,m
R ki S pm |i ⊗ m
Par ailleurs, on peut écrire la décomposition de |ϕ et |χ dans les bases
respectives | ˜
k et |˜ p
|ϕ =
dA
k=1
˜
c k | ˜
k| χ =
dB
p=1
˜
d p |˜ p
Un calcul immédiat (exercice 2.5.12) montre que
k,p
˜
c k ˜
d p | ˜
k ⊗ ˜
p = |ϕ ⊗ χ
où |ϕ ⊗ χ est défini par (2.49). Le résultat pour |ϕ ⊗ χ est donc indépendant
du choix de la base.
Les vecteurs de H A ⊗H B qui sont des produits tensoriels ne forment qu’un
ensemble très limité (et même pas un sous-espace vectoriel !) des vecteurs de
H A ⊗H B . Le vecteur le plus général est de la forme
|Φ AB =
i,m
b im |i ⊗ m
(2.51)
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L’espace H
dA
A ⊗H
dB
B sera défini comme un espace à d A d B dimensions où les
couples {|i, |m},n o t é s|i ⊗ m,o u|i⊗|m, forment une base orthonormée
j ⊗ p |i ⊗ m = δ ji δ pm
(2.48)
et le produit tensoriel des vecteurs |ϕ et |χ,n o t é|ϕ ⊗ χ,o u|ϕ⊗|χ,e s t
le vecteur de composantes c i d m dans cette base
|ϕ ⊗ χ =
i,m
c i d m |i ⊗ m
(2.49)
On vérifie immédiatement la linéarité de l’opération produit tensoriel
|ϕ ⊗ (χ 1 + λχ 2 ) = |ϕ ⊗ χ 1 + λ|ϕ ⊗ χ 2
|(ϕ 1 + λϕ 2 ) ⊗ χ = |ϕ 1 ⊗ χ + λ|ϕ 2 ⊗ χ
(2.50)
Il faut également vérifier que la définition du produit tensoriel est indépendante du choix de la base. Soit | ˜
k et |˜ n deux bases orthonormées de H A et
H B déduites des bases |i et |m par des transformations unitaires respectives
R (R
−1 = R
† ) et S (S
−1 = S
† )
| ˜
k =
i
R ki |i| ˜
p =
m
S pm |m
D’après (2.49), le produit tensoriel | ˜
k ⊗ ˜
p est donné par
| ˜
k ⊗ ˜
p =
k,m
R ki S pm |i ⊗ m
Par ailleurs, on peut écrire la décomposition de |ϕ et |χ dans les bases
respectives | ˜
k et |˜ p
|ϕ =
dA
k=1
˜
c k | ˜
k| χ =
dB
p=1
˜
d p |˜ p
Un calcul immédiat (exercice 2.5.12) montre que
k,p
˜
c k ˜
d p | ˜
k ⊗ ˜
p = |ϕ ⊗ χ
où |ϕ ⊗ χ est défini par (2.49). Le résultat pour |ϕ ⊗ χ est donc indépendant
du choix de la base.
Les vecteurs de H A ⊗H B qui sont des produits tensoriels ne forment qu’un
ensemble très limité (et même pas un sous-espace vectoriel !) des vecteurs de
H A ⊗H B . Le vecteur le plus général est de la forme
|Φ AB =
i,m
b im |i ⊗ m
(2.51)