62
Physique quantique : Fondements
En résumé, étant donné un opérateur hermitien A dont la décomposition
spectrale est donnée par (2.31), il est immédiat de définir toute fonction de A
par
f (A)=
n
f (a n )P n
(2.43)
par exemple son exponentielle exp A, son logarithme ln A ou sa résolvante
R(z, A)
e
iαA
=
n
e
iαan P n
(2.44)
ln A =
n
(ln a n )P n
(2.45)
R(z, A)=( zI − A)
−1 =
n
1
z − a n
P n
(2.46)
La résolvante R(z, A) n’est bien sûr définie que si z = a n quel que soit n,e t
le logarithme si aucune des valeurs propres a n n’est nulle.
2.4 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels
2.4.1 Définition et propriétés du produit tensoriel
Dans cette section, nous allons construire l’espace produit tensoriel de
deux espaces de Hilbert, construction que nous utiliserons épisodiquement
aux chapitres 8 et 9, mais qui nous sera surtout indispensable
6
au chapitre 11.
Soit H
dA
A et H
dB
B (ou simplement H A et H B ) deux espaces de Hilbert de dimensions respectives d A et d B , et choisissons dans ces espaces deux vecteurs
|ϕ A ≡|ϕ∈H A et |χ B ≡|χ∈H B . Le couple {|ϕ, |χ} peut être considéré
comme un vecteur appartenant à un espace vectoriel de dimension d A d B ,a p -
pelé produit tensoriel des espaces H
dA
A et H
dB
B ,notéH
dA
A ⊗H
dB
B (ou simplement
H A ⊗H B ), que nous allons définir précisément ci-dessous.
Choisissons une base orthonormée |i A ≡| i,i =1...,d A de H A et une
base orthonormée |m B ≡| m,m =1 ,...,d B de H B . Les indices i, j, k étiquettent les vecteurs d’une base de H A et m, n, p ceux d’une base de H B :afin
d’éviter une prolifération d’indices, nous omettrons souvent les indices A et B
et noterons |i au lieu de |i A , |m au lieu de |m B , etc., sauf en cas d’ambiguïté possible. Décomposons sur ces bases des vecteurs arbitraires |ϕ∈H A
et |χ∈H B
|ϕ =
dA
n=1
c i |i| χ =
dB
m=1
d m |m
(2.47)
6. Cette section peut être omise en première lecture. Elle sera indispensable pour aborder
le chapitre 11.
Physique quantique : Fondements
En résumé, étant donné un opérateur hermitien A dont la décomposition
spectrale est donnée par (2.31), il est immédiat de définir toute fonction de A
par
f (A)=
n
f (a n )P n
(2.43)
par exemple son exponentielle exp A, son logarithme ln A ou sa résolvante
R(z, A)
e
iαA
=
n
e
iαan P n
(2.44)
ln A =
n
(ln a n )P n
(2.45)
R(z, A)=( zI − A)
−1 =
n
1
z − a n
P n
(2.46)
La résolvante R(z, A) n’est bien sûr définie que si z = a n quel que soit n,e t
le logarithme si aucune des valeurs propres a n n’est nulle.
2.4 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels
2.4.1 Définition et propriétés du produit tensoriel
Dans cette section, nous allons construire l’espace produit tensoriel de
deux espaces de Hilbert, construction que nous utiliserons épisodiquement
aux chapitres 8 et 9, mais qui nous sera surtout indispensable
6
au chapitre 11.
Soit H
dA
A et H
dB
B (ou simplement H A et H B ) deux espaces de Hilbert de dimensions respectives d A et d B , et choisissons dans ces espaces deux vecteurs
|ϕ A ≡|ϕ∈H A et |χ B ≡|χ∈H B . Le couple {|ϕ, |χ} peut être considéré
comme un vecteur appartenant à un espace vectoriel de dimension d A d B ,a p -
pelé produit tensoriel des espaces H
dA
A et H
dB
B ,notéH
dA
A ⊗H
dB
B (ou simplement
H A ⊗H B ), que nous allons définir précisément ci-dessous.
Choisissons une base orthonormée |i A ≡| i,i =1...,d A de H A et une
base orthonormée |m B ≡| m,m =1 ,...,d B de H B . Les indices i, j, k étiquettent les vecteurs d’une base de H A et m, n, p ceux d’une base de H B :afin
d’éviter une prolifération d’indices, nous omettrons souvent les indices A et B
et noterons |i au lieu de |i A , |m au lieu de |m B , etc., sauf en cas d’ambiguïté possible. Décomposons sur ces bases des vecteurs arbitraires |ϕ∈H A
et |χ∈H B
|ϕ =
dA
n=1
c i |i| χ =
dB
m=1
d m |m
(2.47)
6. Cette section peut être omise en première lecture. Elle sera indispensable pour aborder
le chapitre 11.