2. Mathématiques de la mécanique quantique I : dimension finie
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est manifestement un opérateur unitaire. Cette écriture généralise aux opérateurs unitaires la représentation exp(iα) d’un nombre complexe de module
un.
2.3.5 Fonctions d’un opérateur
En écrivant (2.40), nous avons introduit l’exponentielle d’un opérateur.
Plus généralement, il est utile de savoir construire une fonction f (A) d’un
opérateur. Cette construction est immédiate si l’opérateur A peut être diagonalisé : A = XDX
−1
,o ùD est une matrice diagonale dont les éléments
diagonaux sont d n . Supposons la fonction f définie par un développement de
Taylor convergent dans un certain domaine du plan complexe |z| f (z)=
∞
p=0
c p z
p
L’opérateur f (A) sera donné par
f (A)=
∞
p=0
c p A
p =
∞
p=0
c p XD
p X
−1 = X
∞
p=0
c p D
p
X
−1
(2.41)
L’expression entre crochets n’est autre qu’une matrice diagonale d’éléments
f (d n ) bien définie si |d n | un prolongement analytique pour f (A) même si certaines valeurs propres d n
sont en dehors du rayon de convergence du développement de Taylor, de même
que l’on prolonge analytiquement
∞
p=0
z
p =
1
1 − z
en dehors du rayon de convergence |z| < 1, pour toute valeur de z différente
de un. Un cas particulièrement important est celui de l’exponentielle d’un
opérateur
exp A =
∞
p=0
A
p
p!
(2.42)
Le rayon de convergence de ce développement étant infini, l’argument cidessus implique que exp A est bien défini par le développement (2.42) si A est
diagonalisable (en fait, il n’est pas difficile de montrer que le développement
est convergent dans tous les cas). Il faut prendre garde au fait qu’en général
exp A exp B =expB exp A
une condition suffisante (mais non nécessaire !) pour l’égalité étant que A et
B commutent (exercice 3.3.6).