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Physique quantique : Fondements
et comme les vecteurs |(n, p)r forment une base, [A, B]=0.S i[A, B]=0,i l
est possible que la donnée des valeurs propres a n et b p suffise à spécifier les
vecteurs de base de façon unique, à une constante multiplicative de module
un près ; il existe un vecteur |(n, p) et un seul tel que
A|(n, p) = a n |(n, p)
B|(n, p) = b p |(n, p)
(2.37)
On dira alors que A et B forment un ensemble complet d’opérateurs compatibles. S’il y a encore indétermination, c’est-à-dire s’il existe plusieurs vecteurs
linéairement indépendants satisfaisant (2.37), il pourra arriver que la donnée
des valeurs propres d’un troisième opérateur C commutant avec A et B lève
l’indétermination. Un ensemble d’opérateurs hermitiens A 1 ,...,A M commutant deux à deux et dont les valeurs propres définissent sans ambiguïté les
vecteurs d’une base de H est appelé ensemble complet d’opérateurs compatibles (ou ensemble complet d’opérateurs qui commutent).
2.3.4 Opérateurs unitaires et opérateurs hermitiens
Les propriétés des opérateurs unitaires U
† = U
−1
sont intimement liées à
celles des opérateurs hermitiens, et en particulier ils peuvent toujours être diagonalisés. Le théorème de base pour les opérateurs unitaires s’énonce comme
suit.
Théorème. (a) Les valeurs propres a n d’un opérateur unitaire sont de module
unité : a n =exp(iα n ), α n réel. (b) Les vecteurs propres correspondant à deux
valeurs propres différentes sont orthogonaux. (c) La décomposition spectrale
d’un opérateur unitaire s’écrit en fonction de projecteurs P n sous la forme
U =
n
a n P n =
n
e
iαn P n avec
n
P n = I
(2.38)
La démonstration de (a) et (b) est triviale. Pour obtenir (c), on écrit :
U =
1
2
(U + U
† )+i
1
2i
(U − U
† )=A + iB
(2.39)
Les opérateurs A et B sont hermitiens et [A, B]=0; (2.39) généralise aux
opérateurs unitaires la décomposition en partie réelle et partie imaginaire d’un
nombre complexe, les opérateurs hermitiens jouant le rôle des nombres réels.
On peut diagonaliser simultanément A et B, et les vecteurs propres communs
à A et B sont aussi vecteurs propres de U ; les valeurs propres de A et B sont
cos α n et sin α n , respectivement. L’opérateur C
C =
n
α n P n
est un opérateur hermitien et U =e x p ( iC). Inversement, soit A =
n a n P n
un opérateur hermitien. L’opérateur
U =
n
e
iαan P n = e
iαA
(2.40)
Physique quantique : Fondements
et comme les vecteurs |(n, p)r forment une base, [A, B]=0.S i[A, B]=0,i l
est possible que la donnée des valeurs propres a n et b p suffise à spécifier les
vecteurs de base de façon unique, à une constante multiplicative de module
un près ; il existe un vecteur |(n, p) et un seul tel que
A|(n, p) = a n |(n, p)
B|(n, p) = b p |(n, p)
(2.37)
On dira alors que A et B forment un ensemble complet d’opérateurs compatibles. S’il y a encore indétermination, c’est-à-dire s’il existe plusieurs vecteurs
linéairement indépendants satisfaisant (2.37), il pourra arriver que la donnée
des valeurs propres d’un troisième opérateur C commutant avec A et B lève
l’indétermination. Un ensemble d’opérateurs hermitiens A 1 ,...,A M commutant deux à deux et dont les valeurs propres définissent sans ambiguïté les
vecteurs d’une base de H est appelé ensemble complet d’opérateurs compatibles (ou ensemble complet d’opérateurs qui commutent).
2.3.4 Opérateurs unitaires et opérateurs hermitiens
Les propriétés des opérateurs unitaires U
† = U
−1
sont intimement liées à
celles des opérateurs hermitiens, et en particulier ils peuvent toujours être diagonalisés. Le théorème de base pour les opérateurs unitaires s’énonce comme
suit.
Théorème. (a) Les valeurs propres a n d’un opérateur unitaire sont de module
unité : a n =exp(iα n ), α n réel. (b) Les vecteurs propres correspondant à deux
valeurs propres différentes sont orthogonaux. (c) La décomposition spectrale
d’un opérateur unitaire s’écrit en fonction de projecteurs P n sous la forme
U =
n
a n P n =
n
e
iαn P n avec
n
P n = I
(2.38)
La démonstration de (a) et (b) est triviale. Pour obtenir (c), on écrit :
U =
1
2
(U + U
† )+i
1
2i
(U − U
† )=A + iB
(2.39)
Les opérateurs A et B sont hermitiens et [A, B]=0; (2.39) généralise aux
opérateurs unitaires la décomposition en partie réelle et partie imaginaire d’un
nombre complexe, les opérateurs hermitiens jouant le rôle des nombres réels.
On peut diagonaliser simultanément A et B, et les vecteurs propres communs
à A et B sont aussi vecteurs propres de U ; les valeurs propres de A et B sont
cos α n et sin α n , respectivement. L’opérateur C
C =
n
α n P n
est un opérateur hermitien et U =e x p ( iC). Inversement, soit A =
n a n P n
un opérateur hermitien. L’opérateur
U =
n
e
iαan P n = e
iαA
(2.40)