2. Mathématiques de la mécanique quantique I : dimension finie
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correspondant aux valeurs propres a +
√
b 2 + c 2 et a −
√
b 2 + c 2 , respectivement. On retrouve le cas précédent si c =0, ce qui correspond à θ = ±π/2.
2.3.3 Ensemble complet d’opérateurs compatibles
Par définition, deux opérateurs A et B commutent si AB = BA,e td a n s
ce cas leur commutateur [A, B] défini par
[A, B]=AB − BA
(2.36)
est nul. Soit deux opérateurs hermitiens A et B qui commutent. On montre
alors le théorème suivant.
Théorème. Soit A et B deux opérateurs hermitiens tels que [A, B]=0 .O n
peut alors trouver une base de H formée de vecteurs propres communs à
A et B.
Démonstration. Soit a n les valeurs propres de A et |n, r une base de H formée avec les vecteurs propres correspondants. Multiplions les deux membres
de (2.28) par B et exploitons la commutation
BA|n, r = A(B|n, r)=a n (B|n, r)
ce qui implique que le vecteur B|n, r appartient au sous-espace de la valeur
propre a n .Sia n est non dégénérée, ce sous-espace est de dimension un, B|n, r
est nécessairement proportionnel à |n, r qui est donc également vecteur propre
de B.S ia n est dégénérée, nous pouvons seulement déduire que B|n, r est
nécessairement orthogonal à tout vecteur propre |m, s de A,a v e cm = n
m, s|B|n, r = δ nm B
(n)
sr
ce qui veut dire que dans la base |n, r la matrice représentative de B est
diagonale par blocs
B =
⎛
⎝
B
(1)
00
0
B
(2)
0
00
B
(3)
⎞
⎠
Chaque bloc B
(k)
peut être diagonalisé séparément par un changement de
base affectant seulement chacun des sous-espaces, sans toucher à la diagonalisation de A puisqu’à l’intérieur de chaque sous-espace A est représenté par
une matrice diagonale.
Réciproquement, supposons que l’on ait trouvé une base |(n, p)r de H
formée de vecteurs propres communs à A et B
A|(n, p)r = a n |(n, p)r
B|(n, p)r = b p |(n, p)r
Il est alors évident que
[A, B]|(n, p)r =0
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correspondant aux valeurs propres a +
√
b 2 + c 2 et a −
√
b 2 + c 2 , respectivement. On retrouve le cas précédent si c =0, ce qui correspond à θ = ±π/2.
2.3.3 Ensemble complet d’opérateurs compatibles
Par définition, deux opérateurs A et B commutent si AB = BA,e td a n s
ce cas leur commutateur [A, B] défini par
[A, B]=AB − BA
(2.36)
est nul. Soit deux opérateurs hermitiens A et B qui commutent. On montre
alors le théorème suivant.
Théorème. Soit A et B deux opérateurs hermitiens tels que [A, B]=0 .O n
peut alors trouver une base de H formée de vecteurs propres communs à
A et B.
Démonstration. Soit a n les valeurs propres de A et |n, r une base de H formée avec les vecteurs propres correspondants. Multiplions les deux membres
de (2.28) par B et exploitons la commutation
BA|n, r = A(B|n, r)=a n (B|n, r)
ce qui implique que le vecteur B|n, r appartient au sous-espace de la valeur
propre a n .Sia n est non dégénérée, ce sous-espace est de dimension un, B|n, r
est nécessairement proportionnel à |n, r qui est donc également vecteur propre
de B.S ia n est dégénérée, nous pouvons seulement déduire que B|n, r est
nécessairement orthogonal à tout vecteur propre |m, s de A,a v e cm = n
m, s|B|n, r = δ nm B
(n)
sr
ce qui veut dire que dans la base |n, r la matrice représentative de B est
diagonale par blocs
B =
⎛
⎝
B
(1)
00
0
B
(2)
0
00
B
(3)
⎞
⎠
Chaque bloc B
(k)
peut être diagonalisé séparément par un changement de
base affectant seulement chacun des sous-espaces, sans toucher à la diagonalisation de A puisqu’à l’intérieur de chaque sous-espace A est représenté par
une matrice diagonale.
Réciproquement, supposons que l’on ait trouvé une base |(n, p)r de H
formée de vecteurs propres communs à A et B
A|(n, p)r = a n |(n, p)r
B|(n, p)r = b p |(n, p)r
Il est alors évident que
[A, B]|(n, p)r =0