58
Physique quantique : Fondements
|1→|1
′ = e
iα |1| 2→|2
′ = e
iβ |2
Dans cette nouvelle base, l’élément de matrice A
′
12 de l’opérateur A est
A
′
12 = 1
′ |A|2
′ = e
i(β−α) 1|A|2 = e
i(β−α) A 12 = e
i(β−α) b
Si b = |b| exp(iδ), il suffit de prendre (α − β)=δ pour éliminer la phase de b,
qui peut donc être choisi réel. Le cas le plus simple est celui où a = a
′
A =
ab
ba
(2.32)
Dans ce cas, on vérifie immédiatement que les deux vecteurs |χ + et |χ −
|χ + =
1
√
2
1
1
|χ − =
1
√
2
−1
1
(2.33)
sont vecteurs propres de A avec les valeurs propres (a + b) et (a − b), respectivement. Ce résultat très simple a une origine intéressante : soit U P l’opérateur
unitaire qui effectue une permutation des vecteurs de base |1 et |2
U P =
01
10
L’opérateur U P est de carré unité : U
2
P = I, et ses valeurs propres sont donc
±1. Les vecteurs propres correspondants sont |χ + et |χ − .M a i so np e u t
écrire A sous la forme
A = aI + bU P
ce qui montre que A et U P commutent : AU P = U P A et, comme on le verra
à la sous-section suivante, on peut alors trouver une base formée de vecteurs
propres communs à A et U P . La diagonalisation de A est simple parce que
A commute avec une opération de symétrie, propriété que nous utiliserons
souvent par la suite.
Dans le cas général a = a
′
, la propriété de symétrie n’est plus valable et
la diagonalisation n’est pas aussi simple. Il est commode d’écrire A sous la
forme
A =
a + cb
ba − c
= aI +
b 2 + c 2
cos θ
sin θ
sin θ − cos θ
(2.34)
où l’angle θ est défini par
c =
b 2 + c 2 cos θ
b =
b 2 + c 2 sin θ
On notera que tan θ = b/c, et qu’il faut prendre garde à choisir la bonne
détermination de θ. On vérifie alors que les vecteurs propres sont
|χ + =
cos θ/2
sin θ/2
|χ − =
− sin θ/2
cos θ/2
(2.35)
Physique quantique : Fondements
|1→|1
′ = e
iα |1| 2→|2
′ = e
iβ |2
Dans cette nouvelle base, l’élément de matrice A
′
12 de l’opérateur A est
A
′
12 = 1
′ |A|2
′ = e
i(β−α) 1|A|2 = e
i(β−α) A 12 = e
i(β−α) b
Si b = |b| exp(iδ), il suffit de prendre (α − β)=δ pour éliminer la phase de b,
qui peut donc être choisi réel. Le cas le plus simple est celui où a = a
′
A =
ab
ba
(2.32)
Dans ce cas, on vérifie immédiatement que les deux vecteurs |χ + et |χ −
|χ + =
1
√
2
1
1
|χ − =
1
√
2
−1
1
(2.33)
sont vecteurs propres de A avec les valeurs propres (a + b) et (a − b), respectivement. Ce résultat très simple a une origine intéressante : soit U P l’opérateur
unitaire qui effectue une permutation des vecteurs de base |1 et |2
U P =
01
10
L’opérateur U P est de carré unité : U
2
P = I, et ses valeurs propres sont donc
±1. Les vecteurs propres correspondants sont |χ + et |χ − .M a i so np e u t
écrire A sous la forme
A = aI + bU P
ce qui montre que A et U P commutent : AU P = U P A et, comme on le verra
à la sous-section suivante, on peut alors trouver une base formée de vecteurs
propres communs à A et U P . La diagonalisation de A est simple parce que
A commute avec une opération de symétrie, propriété que nous utiliserons
souvent par la suite.
Dans le cas général a = a
′
, la propriété de symétrie n’est plus valable et
la diagonalisation n’est pas aussi simple. Il est commode d’écrire A sous la
forme
A =
a + cb
ba − c
= aI +
b 2 + c 2
cos θ
sin θ
sin θ − cos θ
(2.34)
où l’angle θ est défini par
c =
b 2 + c 2 cos θ
b =
b 2 + c 2 sin θ
On notera que tan θ = b/c, et qu’il faut prendre garde à choisir la bonne
détermination de θ. On vérifie alors que les vecteurs propres sont
|χ + =
cos θ/2
sin θ/2
|χ − =
− sin θ/2
cos θ/2
(2.35)