2. Mathématiques de la mécanique quantique I : dimension finie
57
Le projecteur P n sur ce sous-espace vectoriel s’écrit d’après (2.21)
P n =
G(n)
r=1
|n, rn, r|
(2.29)
La somme des P n donne l’opérateur identité, puisque l’ensemble des vecteurs
|n, r forme une base de H, et on obtient la relation de fermeture (2.22)
n
P n =
n
G(n)
r=1
|n, rn, r| = I
(2.30)
Soit |ϕ un vecteur quelconque de H
A|ϕ =
n
AP n |ϕ =
n
a n P n |ϕ
puisque P n |ϕ appartient au sous-espace de la valeur propre a n ;onpeutdonc
faire l’identification suivante pour A
A =
n
a n P n =
n
G(n)
r=1
|n, ra n n, r|
(2.31)
Cette relation fondamentale est appelée décomposition spectrale de A. Réciproquement, un opérateur de la forme
n a n P n est hermitien si a n = a
∗
n et
de valeurs propres a n si P n P m = δ nm P n .
2.3.2 Diagonalisation d’une matrice 2 × 2 hermitienne
Nous aurons souvent l’occasion de diagonaliser des matrices 2 × 2 hermitiennes. La forme la plus générale d’une telle matrice dans une base {|1, |2}
|1 =
1
0
|2 =
0
1
est
A =
A 11 A 12
A 21 A 22
=
ab
b
∗ a
′
où a et a
′
sont des nombres réels, b étant a priori complexe. Cependant,
nous verrons qu’en mécanique quantique il est toujours possible de redéfinir
la phase des vecteurs de base