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Physique quantique : Fondements
Les vecteurs propres et valeurs propres des opérateurs hermitiens ont des
propriétés remarquables.
Théorème. Les valeurs propres d’un opérateur hermitien sont réelles et
les vecteurs propres correspondant à deux valeurs propres différentes sont
orthogonaux.
La démonstration est simple : il suffit de considérer le produit scalaire
ϕ|A|ϕ,o ù|ϕ vérifie (2.25)
ϕ|A|ϕ = ϕ|aϕ = a||ϕ||
2
= Aϕ|ϕ = aϕ|ϕ = a
∗ ||ϕ||
2
ce qui entraîne a = a
∗
; d’autre part si A|ϕ = a|ϕ et A|χ = b|χ,a l o r s
χ|Aϕ = aχ|ϕ = Aχ|ϕ = bχ|ϕ
d’où χ|ϕ =0si a = b. Une conséquence immédiate de ce résultat est que les
vecteurs propres d’un opérateur hermitien normalisés à l’unité forment une
base orthonormée de H si les valeurs propres sont toutes distinctes, c’est-àdire si les racines de l’équation (2.26) sont toutes distinctes. Cependant, il
peut arriver que l’une (ou plusieurs) des racines de (2.26) soit racine multiple.
Soit a n une telle racine : la valeur propre a n est alors dite dégénérée.M ê m e
dans ce cas, il est possible de former avec les vecteurs propres de A une
base orthonormée de H. En effet, on dispose du théorème suivant, que nous
énonçons sans démonstration.
Théorème. Si un opérateur A est hermitien, il est toujours possible de trouver
une matrice unitaire U (non unique) telle que U
−1 AU soit une matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres qui apparaissent
sur la diagonale un nombre de fois égal à leur dégénérescence
U
−1 AU =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1 00 ... 0
0 a 2 0 ...
. . .
00a 3 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 ... ... 0 a N
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(2.27)
Soit a n une valeur propre dégénérée, et soit G(n) sa multiplicité dans (2.26) ;
on dit aussi que a n est G(n) fois dégénérée. Il existe alors G(n) vecteurs
propres indépendants correspondant à cette valeur propre. Ces G(n) vecteurs
propres sous-tendent un sous-espace vectoriel de dimension G(n),appelésousespace de la valeur propre a n , où l’on peut trouver une base orthonormée (non
unique) |n, r,r=1, ..., G(n)
A|n, r = a n |n, r
(2.28)
Physique quantique : Fondements
Les vecteurs propres et valeurs propres des opérateurs hermitiens ont des
propriétés remarquables.
Théorème. Les valeurs propres d’un opérateur hermitien sont réelles et
les vecteurs propres correspondant à deux valeurs propres différentes sont
orthogonaux.
La démonstration est simple : il suffit de considérer le produit scalaire
ϕ|A|ϕ,o ù|ϕ vérifie (2.25)
ϕ|A|ϕ = ϕ|aϕ = a||ϕ||
2
= Aϕ|ϕ = aϕ|ϕ = a
∗ ||ϕ||
2
ce qui entraîne a = a
∗
; d’autre part si A|ϕ = a|ϕ et A|χ = b|χ,a l o r s
χ|Aϕ = aχ|ϕ = Aχ|ϕ = bχ|ϕ
d’où χ|ϕ =0si a = b. Une conséquence immédiate de ce résultat est que les
vecteurs propres d’un opérateur hermitien normalisés à l’unité forment une
base orthonormée de H si les valeurs propres sont toutes distinctes, c’est-àdire si les racines de l’équation (2.26) sont toutes distinctes. Cependant, il
peut arriver que l’une (ou plusieurs) des racines de (2.26) soit racine multiple.
Soit a n une telle racine : la valeur propre a n est alors dite dégénérée.M ê m e
dans ce cas, il est possible de former avec les vecteurs propres de A une
base orthonormée de H. En effet, on dispose du théorème suivant, que nous
énonçons sans démonstration.
Théorème. Si un opérateur A est hermitien, il est toujours possible de trouver
une matrice unitaire U (non unique) telle que U
−1 AU soit une matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres qui apparaissent
sur la diagonale un nombre de fois égal à leur dégénérescence
U
−1 AU =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1 00 ... 0
0 a 2 0 ...
. . .
00a 3 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 ... ... 0 a N
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(2.27)
Soit a n une valeur propre dégénérée, et soit G(n) sa multiplicité dans (2.26) ;
on dit aussi que a n est G(n) fois dégénérée. Il existe alors G(n) vecteurs
propres indépendants correspondant à cette valeur propre. Ces G(n) vecteurs
propres sous-tendent un sous-espace vectoriel de dimension G(n),appelésousespace de la valeur propre a n , où l’on peut trouver une base orthonormée (non
unique) |n, r,r=1, ..., G(n)
A|n, r = a n |n, r
(2.28)