2. Mathématiques de la mécanique quantique I : dimension finie
55
Si une base orthonormée du sous-espace H 1 est composée des vecteurs
{|1,...,|M }, M ≤ N ,a l o r sP 1 s’écrit :
P 1 =
M
n=1
|nn|
(2.21)
Si M = N , on obtient la décomposition de l’opérateur identité
I =
N
n=1
|nn|
(2.22)
Cette relation est appelée relation de fermeture. Elle est souvent très commode
dans les calculs. Par exemple, elle redonne simplement la loi de multiplication
des matrices
(AB) nm = n|AB|m = n|AIB|m =
N
l=1
n|A|ll|B|m =
N
l=1
A nl B lm
Donnons enfin une définition importante. La trace d’un opérateur est la somme
de ses éléments diagonaux
Tr A =
N
n=1
A nn
(2.23)
Il est facile de montrer (exercice 2.4.2) que la trace est invariante dans un
changement de base et que
Tr AB = Tr BA
(2.24)
2.3 Décomposition spectrale des opérateurs
hermitiens
2.3.1 Diagonalisation d’un opérateur hermitien
Soit A un opérateur linéaire ; s’il existe un vecteur |ϕ et un nombre complexe a tels que
A|ϕ = a|ϕ
(2.25)
alors |ϕ est appelé vecteur propre et a valeur propre de A. On obtient les
valeurs propres en résolvant l’équation en a
det(A − aI)=0
(2.26)