54
Physique quantique : Fondements
Démonstration. On observe d’abord que P
†
1 = P 1 , et ensuite que les vecteurs
de la forme |P 1 ϕ forment un sous-espace vectoriel H 1 de H. Si l’on écrit
|ϕ = |P 1 ϕ +(|ϕ−|P 1 ϕ)=|P 1 ϕ + |ϕ 2
alors |ϕ 2 est orthogonal à tout vecteur |P 1 χ
ϕ −P 1 ϕ|P 1 χ = P 1 ϕ −P
2
1 ϕ|χ =0
On a bien décomposé |ϕ en |P 1 ϕ et un vecteur du sous-espace orthogonal à
H 1 .
La propriété P
2
1 = P 1 montre que les valeurs propres (voir le § 2.3.1) d’un
projecteur sont 0 ou 1, et Tr P 1 (2.23) est égal à la dimension de l’espace
de projection, comme on le voit aisément en écrivant P 1 dans une base où il
est diagonal : comme nous le verrons dans la section suivante, une telle base
existe toujours car P 1 est hermitien. De plus, on vérifiera dans l’exercice 2.4.6
les propriétés suivantes :
• Si P 1 et P
′
1 sont des projecteurs sur H 1 et H
′
1 , respectivement, P 1 P
′
1 est
un projecteur si et seulement si P 1 P
′
1 = P
′
1 P 1 . P 1 P
′
1 projette alors sur
l’intersection H 1 ∩H
′
1 .
•P 1 + P
′
1 est un projecteur si et seulement si P 1 P
′
1 =0 . Dans ce cas,
H 1 et H
′
1 sont orthogonaux et P 1 + P
′
1 projette sur la somme directe
H 1 ⊕H
′
1 .
• Si P 1 P
′
1 = P
′
1 P 1 ,al orsP 1 + P
′
1 −P 1 P
′
1 projette sur l’union H 1 ∪H
′
1 .L a
seconde propriété est un cas particulier de celle-ci.
Notation de Dirac. Au lieu d’écrire |Aϕ, nous écrirons désormais A|ϕ suivant
une notation introduite par Dirac
4
. Le produit scalaire χ|Aϕ s’écrira en
notation de Dirac χ|A|ϕ. Les vecteurs |ϕ de H sont appelés “kets”, et les
vecteurs χ| de l’espace dual “bras”. Le bra associé au ket |λϕ est λ
∗ ϕ| ;e n
effet
λϕ|χ = λ
∗ ϕ|χ
Dans χ|A|ϕ, A agit à droite sur |ϕ : χ|A|ϕ = χ|(A|ϕ),e tn o nAχ|ϕ.
Comme (A|ϕ)
† = ϕ|A
†
, il n’y a pas d’ambiguïté si A est hermitien. La
notation de Dirac permet d’écrire très simplement les projecteurs. Soit |ϕ un
vecteur normalisé à l’unité : ϕ|ϕ =1 . La décomposition de |χ suivant |ϕ
et un vecteur |χ ⊥ orthogonal à |ϕ est
|χ = |ϕϕ|χ +(|χ−|ϕϕ|χ)=|ϕϕ|χ + |χ ⊥ = P ϕ |χ + |χ ⊥
On peut donc écrire
5
:
P ϕ = |ϕϕ|
(2.20)
4. Cette notation est commode et très largement utilisée, mais elle n’est pas exempte
d’ambiguïtés. Elle est par exemple à éviter lorsque l’on traite du renversement du sens du
temps, appendice A2.
5. Si ||ϕ|| 2 =1,a l o r sPϕ = |ϕϕ|/||ϕ|| 2 .
Physique quantique : Fondements
Démonstration. On observe d’abord que P
†
1 = P 1 , et ensuite que les vecteurs
de la forme |P 1 ϕ forment un sous-espace vectoriel H 1 de H. Si l’on écrit
|ϕ = |P 1 ϕ +(|ϕ−|P 1 ϕ)=|P 1 ϕ + |ϕ 2
alors |ϕ 2 est orthogonal à tout vecteur |P 1 χ
ϕ −P 1 ϕ|P 1 χ = P 1 ϕ −P
2
1 ϕ|χ =0
On a bien décomposé |ϕ en |P 1 ϕ et un vecteur du sous-espace orthogonal à
H 1 .
La propriété P
2
1 = P 1 montre que les valeurs propres (voir le § 2.3.1) d’un
projecteur sont 0 ou 1, et Tr P 1 (2.23) est égal à la dimension de l’espace
de projection, comme on le voit aisément en écrivant P 1 dans une base où il
est diagonal : comme nous le verrons dans la section suivante, une telle base
existe toujours car P 1 est hermitien. De plus, on vérifiera dans l’exercice 2.4.6
les propriétés suivantes :
• Si P 1 et P
′
1 sont des projecteurs sur H 1 et H
′
1 , respectivement, P 1 P
′
1 est
un projecteur si et seulement si P 1 P
′
1 = P
′
1 P 1 . P 1 P
′
1 projette alors sur
l’intersection H 1 ∩H
′
1 .
•P 1 + P
′
1 est un projecteur si et seulement si P 1 P
′
1 =0 . Dans ce cas,
H 1 et H
′
1 sont orthogonaux et P 1 + P
′
1 projette sur la somme directe
H 1 ⊕H
′
1 .
• Si P 1 P
′
1 = P
′
1 P 1 ,al orsP 1 + P
′
1 −P 1 P
′
1 projette sur l’union H 1 ∪H
′
1 .L a
seconde propriété est un cas particulier de celle-ci.
Notation de Dirac. Au lieu d’écrire |Aϕ, nous écrirons désormais A|ϕ suivant
une notation introduite par Dirac
4
. Le produit scalaire χ|Aϕ s’écrira en
notation de Dirac χ|A|ϕ. Les vecteurs |ϕ de H sont appelés “kets”, et les
vecteurs χ| de l’espace dual “bras”. Le bra associé au ket |λϕ est λ
∗ ϕ| ;e n
effet
λϕ|χ = λ
∗ ϕ|χ
Dans χ|A|ϕ, A agit à droite sur |ϕ : χ|A|ϕ = χ|(A|ϕ),e tn o nAχ|ϕ.
Comme (A|ϕ)
† = ϕ|A
†
, il n’y a pas d’ambiguïté si A est hermitien. La
notation de Dirac permet d’écrire très simplement les projecteurs. Soit |ϕ un
vecteur normalisé à l’unité : ϕ|ϕ =1 . La décomposition de |χ suivant |ϕ
et un vecteur |χ ⊥ orthogonal à |ϕ est
|χ = |ϕϕ|χ +(|χ−|ϕϕ|χ)=|ϕϕ|χ + |χ ⊥ = P ϕ |χ + |χ ⊥
On peut donc écrire
5
:
P ϕ = |ϕϕ|
(2.20)
4. Cette notation est commode et très largement utilisée, mais elle n’est pas exempte
d’ambiguïtés. Elle est par exemple à éviter lorsque l’on traite du renversement du sens du
temps, appendice A2.
5. Si ||ϕ|| 2 =1,a l o r sPϕ = |ϕϕ|/||ϕ|| 2 .