2. Mathématiques de la mécanique quantique I : dimension finie
53
Dans un espace vectoriel de dimension finie, l’existence d’un inverse à gauche
entraîne celle d’un inverse à droite, et on a également UU
† = I.U nopérat eu r
qui conserve la norme est une isométrie. Dans un espace de dimension finie,
une isométrie est un opérateur unitaire.
Les opérateurs unitaires effectuent les changements de base orthonormée
dans H.S o i t|n
′ = |Un,a l o r s
m
′ |n
′ = Um|Un = m|n = δ mn = δ m ′ n ′
et l’ensemble des vecteurs {|n
′ } forme une base orthonormée. Il faut prendre
garde au fait que les composantes c n d’un vecteur se transforment à l’aide de
U
†
(ou U
−1
)
c
′
n = n
′ |ϕ = Un|ϕ = n|U
† ϕ =
N
m=1
U
†
nm c m
(2.17)
Notons également la loi de transformation des éléments de matrice
A
′
mn = m
′ |An
′ = Um|AU n = m|U
† AU n =
N
k,l=1
U
†
mk A kl U ln (2.18)
2.2.2 Projecteurs et notation de Dirac
Enfin, nous ferons usage intensif des projecteurs.S o i tH 1 un sous-espace
de H et H 2 le sous-espace orthogonal. Tout vecteur |ϕ se décompose de façon
unique en un vecteur |ϕ 1 appartenant à H 1 et un vecteur |ϕ 2 appartenant
à H 2
|ϕ = |ϕ 1 + |ϕ 2 , |ϕ 1 ∈H 1 , |ϕ 2 ∈H 2 , ϕ 1 |ϕ 2 =0
On définit le projecteur P 1 sur H 1 par son action sur un vecteur arbitraire
|ϕ
|P 1 ϕ = |ϕ 1
(2.19)
P 1 est manifestement un opérateur linéaire, et c’est aussi un opérateur hermitien car si la décomposition de |χ en vecteurs appartenant à H 1 et H 2 est
|χ = |χ 1 + |χ 2 ,a l o r s
χ|P 1 ϕ = χ|ϕ 1 = χ 1 |ϕ 1
χ|P
†
1 ϕ = P 1 χ|ϕ = χ 1 |ϕ = χ 1 |ϕ 1
On remarque également que
|P
2
1 ϕ = |P 1 ϕ 1 = |ϕ 1 ⇒P
2
1 = P 1
Inversement, tout opérateur linéaire qui vérifie P
†
1 P 1 = P 1 est un projecteur.
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Dans un espace vectoriel de dimension finie, l’existence d’un inverse à gauche
entraîne celle d’un inverse à droite, et on a également UU
† = I.U nopérat eu r
qui conserve la norme est une isométrie. Dans un espace de dimension finie,
une isométrie est un opérateur unitaire.
Les opérateurs unitaires effectuent les changements de base orthonormée
dans H.S o i t|n
′ = |Un,a l o r s
m
′ |n
′ = Um|Un = m|n = δ mn = δ m ′ n ′
et l’ensemble des vecteurs {|n
′ } forme une base orthonormée. Il faut prendre
garde au fait que les composantes c n d’un vecteur se transforment à l’aide de
U
†
(ou U
−1
)
c
′
n = n
′ |ϕ = Un|ϕ = n|U
† ϕ =
N
m=1
U
†
nm c m
(2.17)
Notons également la loi de transformation des éléments de matrice
A
′
mn = m
′ |An
′ = Um|AU n = m|U
† AU n =
N
k,l=1
U
†
mk A kl U ln (2.18)
2.2.2 Projecteurs et notation de Dirac
Enfin, nous ferons usage intensif des projecteurs.S o i tH 1 un sous-espace
de H et H 2 le sous-espace orthogonal. Tout vecteur |ϕ se décompose de façon
unique en un vecteur |ϕ 1 appartenant à H 1 et un vecteur |ϕ 2 appartenant
à H 2
|ϕ = |ϕ 1 + |ϕ 2 , |ϕ 1 ∈H 1 , |ϕ 2 ∈H 2 , ϕ 1 |ϕ 2 =0
On définit le projecteur P 1 sur H 1 par son action sur un vecteur arbitraire
|ϕ
|P 1 ϕ = |ϕ 1
(2.19)
P 1 est manifestement un opérateur linéaire, et c’est aussi un opérateur hermitien car si la décomposition de |χ en vecteurs appartenant à H 1 et H 2 est
|χ = |χ 1 + |χ 2 ,a l o r s
χ|P 1 ϕ = χ|ϕ 1 = χ 1 |ϕ 1
χ|P
†
1 ϕ = P 1 χ|ϕ = χ 1 |ϕ = χ 1 |ϕ 1
On remarque également que
|P
2
1 ϕ = |P 1 ϕ 1 = |ϕ 1 ⇒P
2
1 = P 1
Inversement, tout opérateur linéaire qui vérifie P
†
1 P 1 = P 1 est un projecteur.