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Physique quantique : Fondements
on obtient les composantes d m de |Aϕ =
m d m |m
d m = m|Aϕ =
N
n=1
c n m|An =
N
n=1
A mn c n
(2.12)
L’élément de matrice A mn est donc
A mn = m|An
(2.13)
L’opérateur conjugué hermitien (ou adjoint) A
†
de A est défini par
χ|A
† ϕ = Aχ|ϕ = ϕ|Aχ
∗
(2.14)
pour tout couple de vecteurs |ϕ, |χ. On montre facilement que A
†
est bien un opérateur linéaire. Ses éléments de matrice dans la base
{|1, |2,...,|n,...,|N } sont obtenus en prenant pour |ϕ et |χ les vecteurs
de base et (A
† ) mn vérifie
(A
† ) mn = A
∗
nm
(2.15)
Le conjugué hermitien du produit AB de deux opérateurs est B
† A
†
;e ne ff e t
χ|(AB)
† ϕ = ABχ|ϕ = Bχ|A
† ϕ = χ|B
† A
† ϕ
Un opérateur vérifiant A = A
†
est appelé hermitien,ouauto-adjoint. Les deux
termes sont équivalents pour les espaces de dimension finie, mais non dans le
cas de la dimension infinie.
Un opérateur tel que UU
† = U
† U = I, ou de façon équivalente U
−1 =
U
†
, est appelé opérateur unitaire : dans toute la suite du livre, I désignera
l’opérateur identité de l’espace de Hilbert. Dans un espace de dimension finie,
une condition nécessaire et suffisante pour qu’un opérateur U soit unitaire est
qu’il conserve la norme
||Uϕ||
2 = ||ϕ||
2 ou Uϕ|Uϕ = ϕ|ϕ∀ ϕ ∈H
(2.16)
Démonstration. Calculons la norme carrée de |U (ϕ+λχ), qui, par hypothèse,
est égale à la norme carrée de |ϕ + λχ
ϕ + λχ|ϕ + λχ = ϕ|ϕ + |λ|
2 χ|χ +2Re(λϕ|χ)
tandis que
U (ϕ + λχ)|U (ϕ + λχ) = Uϕ|Uϕ + |λ|
2 Uχ|Uχ +2Re(λUϕ|Uχ)
En retranchant la seconde des équations ci-dessus de la première
Re (λϕ|χ)=Re( λUϕ|Uχ)
et en choisissant λ =1puis λ = i on déduit
Uϕ|Uχ = ϕ|χ⇒U
† U = I
Physique quantique : Fondements
on obtient les composantes d m de |Aϕ =
m d m |m
d m = m|Aϕ =
N
n=1
c n m|An =
N
n=1
A mn c n
(2.12)
L’élément de matrice A mn est donc
A mn = m|An
(2.13)
L’opérateur conjugué hermitien (ou adjoint) A
†
de A est défini par
χ|A
† ϕ = Aχ|ϕ = ϕ|Aχ
∗
(2.14)
pour tout couple de vecteurs |ϕ, |χ. On montre facilement que A
†
est bien un opérateur linéaire. Ses éléments de matrice dans la base
{|1, |2,...,|n,...,|N } sont obtenus en prenant pour |ϕ et |χ les vecteurs
de base et (A
† ) mn vérifie
(A
† ) mn = A
∗
nm
(2.15)
Le conjugué hermitien du produit AB de deux opérateurs est B
† A
†
;e ne ff e t
χ|(AB)
† ϕ = ABχ|ϕ = Bχ|A
† ϕ = χ|B
† A
† ϕ
Un opérateur vérifiant A = A
†
est appelé hermitien,ouauto-adjoint. Les deux
termes sont équivalents pour les espaces de dimension finie, mais non dans le
cas de la dimension infinie.
Un opérateur tel que UU
† = U
† U = I, ou de façon équivalente U
−1 =
U
†
, est appelé opérateur unitaire : dans toute la suite du livre, I désignera
l’opérateur identité de l’espace de Hilbert. Dans un espace de dimension finie,
une condition nécessaire et suffisante pour qu’un opérateur U soit unitaire est
qu’il conserve la norme
||Uϕ||
2 = ||ϕ||
2 ou Uϕ|Uϕ = ϕ|ϕ∀ ϕ ∈H
(2.16)
Démonstration. Calculons la norme carrée de |U (ϕ+λχ), qui, par hypothèse,
est égale à la norme carrée de |ϕ + λχ
ϕ + λχ|ϕ + λχ = ϕ|ϕ + |λ|
2 χ|χ +2Re(λϕ|χ)
tandis que
U (ϕ + λχ)|U (ϕ + λχ) = Uϕ|Uϕ + |λ|
2 Uχ|Uχ +2Re(λUϕ|Uχ)
En retranchant la seconde des équations ci-dessus de la première
Re (λϕ|χ)=Re( λUϕ|Uχ)
et en choisissant λ =1puis λ = i on déduit
Uϕ|Uχ = ϕ|χ⇒U
† U = I