2. Mathématiques de la mécanique quantique I : dimension finie
51
La norme de |ϕ,n o t é e||ϕ||, est définie à partir du produit scalaire
||ϕ||
2 = ϕ|ϕ =
N
n=1
|c n |
2 ≥ 0
(2.9)
Une propriété importante du produit scalaire est l’inégalité de Schwarz
||χ|ϕ|
2 ≤≤ χ|χϕ|ϕ = ||χ||
2 ||ϕ||
2
(2.10)
L’égalité est vraie si et seulement si |ϕ et |χ sont proportionnels : |χ = λ|ϕ.
Démonstration
2
. Le théorème est vérifié si χ|ϕ =0 , nous pouvons donc
supposer que χ|ϕ =0⇒|ϕ =0et |χ =0. D’après la propriété (2.9) de la
norme
(ϕ − λχ)|(ϕ − λχ) = ||ϕ||
2 − λ
∗ χ|ϕ−λϕ|χ + |λ|
2 ||χ||
2 ≥ 0
Choisissant
λ =
||ϕ||
2
ϕ|χ
λ
∗ =
||ϕ||
2
χ|ϕ
on obtient
||ϕ||
2 − 2||ϕ||
2 +
||ϕ||
4 ||χ||
2
||χ|ϕ| 2 ≥ 0
d’où (2.10) suit immédiatement. L’égalité ne peut avoir lieu d’après (2.4) que
si |ϕ = λ|χ et réciproquement.
2.2 Opérateurs linéaires sur H
2.2.1 Opérateurs linéaires, hermitiens, unitaires
Un opérateur linéaire A fait correspondre au vecteur |ϕ un vecteur |Aϕ
vérifiant la propriété de linéarité
|A(ϕ + λχ) = |Aϕ + λ|Aχ
(2.11)
Dans une base déterminée, cet opérateur est représenté par une matrice
3
d’éléments A mn . En effet grâce à la linéarité et en utilisant la décomposition
(2.6)
|Aϕ =
N
n=1
c n |An
2. Cette démonstration se transpose immédiatement au cas où l’espace est de dimension
infinie.
3. On notera que, par abus de langage, les physiciens confondent souvent l’opérateur et
sa matrice représentative dans une base donnée.
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La norme de |ϕ,n o t é e||ϕ||, est définie à partir du produit scalaire
||ϕ||
2 = ϕ|ϕ =
N
n=1
|c n |
2 ≥ 0
(2.9)
Une propriété importante du produit scalaire est l’inégalité de Schwarz
||χ|ϕ|
2 ≤≤ χ|χϕ|ϕ = ||χ||
2 ||ϕ||
2
(2.10)
L’égalité est vraie si et seulement si |ϕ et |χ sont proportionnels : |χ = λ|ϕ.
Démonstration
2
. Le théorème est vérifié si χ|ϕ =0 , nous pouvons donc
supposer que χ|ϕ =0⇒|ϕ =0et |χ =0. D’après la propriété (2.9) de la
norme
(ϕ − λχ)|(ϕ − λχ) = ||ϕ||
2 − λ
∗ χ|ϕ−λϕ|χ + |λ|
2 ||χ||
2 ≥ 0
Choisissant
λ =
||ϕ||
2
ϕ|χ
λ
∗ =
||ϕ||
2
χ|ϕ
on obtient
||ϕ||
2 − 2||ϕ||
2 +
||ϕ||
4 ||χ||
2
||χ|ϕ| 2 ≥ 0
d’où (2.10) suit immédiatement. L’égalité ne peut avoir lieu d’après (2.4) que
si |ϕ = λ|χ et réciproquement.
2.2 Opérateurs linéaires sur H
2.2.1 Opérateurs linéaires, hermitiens, unitaires
Un opérateur linéaire A fait correspondre au vecteur |ϕ un vecteur |Aϕ
vérifiant la propriété de linéarité
|A(ϕ + λχ) = |Aϕ + λ|Aχ
(2.11)
Dans une base déterminée, cet opérateur est représenté par une matrice
3
d’éléments A mn . En effet grâce à la linéarité et en utilisant la décomposition
(2.6)
|Aϕ =
N
n=1
c n |An
2. Cette démonstration se transpose immédiatement au cas où l’espace est de dimension
infinie.
3. On notera que, par abus de langage, les physiciens confondent souvent l’opérateur et
sa matrice représentative dans une base donnée.