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Physique quantique : Fondements
2.1 Espaces de Hilbert de dimension finie
Soit H un espace vectoriel de dimension N sur le corps des complexes.
Nous noterons |ϕ, |χ,... les éléments de H.S iλ, µ... sont des nombres
complexes, et si |ϕ et |χ∈H, la linéarité implique que λ|ϕ≡|λϕ∈Het
que (|ϕ + λ|χ) ∈H.
L’espace H est muni d’un produit scalaire défini positif, ce qui en fait un
espace de Hilbert. Le produit scalaire
1
de deux vecteurs |ϕ et |χ sera noté
χ|ϕ ; il est linéaire par rapport à |ϕ
χ|(ϕ 1 + λϕ 2 ) = χ|ϕ 1 + λχ|ϕ 2
(2.1)
et vérifie la propriété de conjugaison complexe
χ|ϕ = ϕ|χ
∗
(2.2)
ce qui implique que ϕ|ϕ est un nombre réel. De (2.1) et (2.2), on déduit que
le produit scalaire χ|ϕ est antilinéaire par rapport à |χ
(χ 1 + λχ 2 )|ϕ = χ 1 |ϕ + λ
∗ χ 2 |ϕ
(2.3)
Enfin le produit scalaire est défini positif
ϕ|ϕ =0⇐⇒ | ϕ =0
(2.4)
Il sera commode de choisir dans H une base orthonormée de N vecteurs
{|1, |2,...,|n,...,|N }
n|m = δ nm
(2.5)
Tout vecteur |ϕ peut se décomposer sur cette base avec des coefficients c n
qui sont les composantes de |ϕ dans cette base
|ϕ =
N
n=1
c n |n
(2.6)
Prenant le produit scalaire de (2.6) avec le vecteur de base |m,o nt r o u v e
pour c m
c m = m|ϕ
(2.7)
Si un vecteur |χ se décompose sur cette même base suivant |χ =
d n |n,
alors le produit scalaire χ|ϕ s’écrit, en utilisant (2.5)
χ|ϕ =
N
n,m=1
d
∗
m c n m|n =
N
n=1
d
∗
n c n
(2.8)
1. Il pourra nous arriver d’utiliser la notation des mathématiciens (χ, ϕ) ≡≡ χ|ϕ pour
le produit scalaire. Toutefois, il faut prendre garde au fait que pour les mathématiciens le
produit scalaire (χ, ϕ) est linéaire par rapport à χ !