Chapitre 2
Mathématiques de la mécanique
quantique I : dimension finie
Le principe de superposition est un principe fondateur de la mécanique
quantique, et nous nous sommes appuyés sur ce principe pour rendre compte
des interférences, par exemple dans l’expérience des fentes d’Young. La mécanique quantique est une théorie linéaire,e ti le s tn a t u r e lq u el e se s p a c e s
vectoriels y jouent un rôle fondamental. Nous verrons qu’un état physique
est représenté mathématiquement par un vecteur dans un espace dont nous
allons préciser les caractéristiques, et qui sera appelé espace des états.U n
second principe fondateur, également déduit des expériences d’interférences,
est l’existence d’amplitudes de probabilité. Ces amplitudes de probabilité seront représentées mathématiquement par des produits scalaires définis sur
l’espace des états. En physique des ondes, l’utilisation des nombres complexes
est uniquement une commodité, mais en mécanique quantique les amplitudes
de probabilité sont fondamentalement des nombres complexes : le produit scalaire sera a priori un nombre complexe. Les propriétés physiques : impulsion,
position, énergie... seront représentées par des opérateurs agissant dans l’espace des états. Dans ce chapitre, nous introduisons les propriétés essentielles
des espaces de Hilbert, c’est-à-dire les espaces vectoriels munis d’un produit
scalaire défini positif, en nous limitant au cas de la dimension finie. Cette
restriction devra être levée ultérieurement, car l’espace des états est en général de dimension infinie. La théorie mathématique des espaces de Hilbert de
dimension infinie est beaucoup plus complexe que celle des espaces de dimension finie, et nous renvoyons leur étude au chapitre 6. Le lecteur familier des
espaces vectoriels de dimension finie et des opérateurs dans ces espaces peut
passer directement au chapitre 3 après un survol des notations.
Mathématiques de la mécanique
quantique I : dimension finie
Le principe de superposition est un principe fondateur de la mécanique
quantique, et nous nous sommes appuyés sur ce principe pour rendre compte
des interférences, par exemple dans l’expérience des fentes d’Young. La mécanique quantique est une théorie linéaire,e ti le s tn a t u r e lq u el e se s p a c e s
vectoriels y jouent un rôle fondamental. Nous verrons qu’un état physique
est représenté mathématiquement par un vecteur dans un espace dont nous
allons préciser les caractéristiques, et qui sera appelé espace des états.U n
second principe fondateur, également déduit des expériences d’interférences,
est l’existence d’amplitudes de probabilité. Ces amplitudes de probabilité seront représentées mathématiquement par des produits scalaires définis sur
l’espace des états. En physique des ondes, l’utilisation des nombres complexes
est uniquement une commodité, mais en mécanique quantique les amplitudes
de probabilité sont fondamentalement des nombres complexes : le produit scalaire sera a priori un nombre complexe. Les propriétés physiques : impulsion,
position, énergie... seront représentées par des opérateurs agissant dans l’espace des états. Dans ce chapitre, nous introduisons les propriétés essentielles
des espaces de Hilbert, c’est-à-dire les espaces vectoriels munis d’un produit
scalaire défini positif, en nous limitant au cas de la dimension finie. Cette
restriction devra être levée ultérieurement, car l’espace des états est en général de dimension infinie. La théorie mathématique des espaces de Hilbert de
dimension infinie est beaucoup plus complexe que celle des espaces de dimension finie, et nous renvoyons leur étude au chapitre 6. Le lecteur familier des
espaces vectoriels de dimension finie et des opérateurs dans ces espaces peut
passer directement au chapitre 3 après un survol des notations.