46
Physique quantique : Fondements
2. Quelle sont l’amplitude a 2 d’arrivée d’un neutron sur le détecteur D 2
en fonction de r, t et a 0 et la probabilité p 2 correspondante ? Pourquoi doit-on
avoir p 1 + p 2 = cste ? En déduire
p 2 = B − A cos δ
Quelle est l’expression de B en fonction de t, r et a 0 ? Posant
t = |t|e
iα
r = |r|e
iβ
montrer que
α − β =
π
2
± nπ
n =0, 1, 2,...
3. On tient compte de la gravité : comment varie en fonction de l’altitude
z le vecteur d’onde k =2π/λ d’un neutron lorsqu’il est placé dans un champ
de pesanteur, l’accélération de la pesanteur étant g ? Comparer les valeurs numériques de l’énergie cinétique du neutron et de son énergie gravitationnelle
43
m n gz (m n est la masse du neutron) et en déduire une approximation pour k.
Le plan ABDC étant initialement horizontal, on fait tourner autour de AB
ce plan qui devient vertical. Montrer que cette rotation induit une différence
de phase entre les deux trajets
∆φ =
m
2
n gS
2 k
=
2πm
2
n gSλ
h 2
où S est l’aire du losange ABDC.
4. Si le plan ABDC fait un angle variable θ avec la verticale, discuter qualitativement la variation de la probabilité de détection des neutrons en fonction
de θ. Données numériques (Colella et al. [1975]) : λ =1.44 Å, S=10.1 cm
2 .
1.6.7 Diffusion cohérente et diffusion incohérente
de neutrons par un cristal
On se propose d’étudier la diffusion de neutrons par un cristal formé de
deux types de noyaux. Un site donné du cristal est occupé par un noyau de
type 1 avec une probabilité p 1 ou par un noyau de type 2 avec une probabilité
p 2 =1− p 1 . Le nombre total de noyaux est N ,e ti lyad o n cp 1 N noyaux
de type 1 et p 2 N noyaux de type 2 dans le cristal. Au site i, i =1 , ··· , N ,
on associe un nombre α i qui prend la valeur 1 si le site est occupé par un
noyau de type 1 et 0 s’il est occupé par un noyau de type 2. L’ensemble {α i }
des α i ,a v e c
i α i = p 1 N , définit une configuration du cristal. L’amplitude
43. L’énergie étant définie à une constante additive près, on fixe par convention le zéro
d’énergie de la façon suivante : un neutron de vitesse nulle et d’altitude z =0a une énergie
nulle.
Physique quantique : Fondements
2. Quelle sont l’amplitude a 2 d’arrivée d’un neutron sur le détecteur D 2
en fonction de r, t et a 0 et la probabilité p 2 correspondante ? Pourquoi doit-on
avoir p 1 + p 2 = cste ? En déduire
p 2 = B − A cos δ
Quelle est l’expression de B en fonction de t, r et a 0 ? Posant
t = |t|e
iα
r = |r|e
iβ
montrer que
α − β =
π
2
± nπ
n =0, 1, 2,...
3. On tient compte de la gravité : comment varie en fonction de l’altitude
z le vecteur d’onde k =2π/λ d’un neutron lorsqu’il est placé dans un champ
de pesanteur, l’accélération de la pesanteur étant g ? Comparer les valeurs numériques de l’énergie cinétique du neutron et de son énergie gravitationnelle
43
m n gz (m n est la masse du neutron) et en déduire une approximation pour k.
Le plan ABDC étant initialement horizontal, on fait tourner autour de AB
ce plan qui devient vertical. Montrer que cette rotation induit une différence
de phase entre les deux trajets
∆φ =
m
2
n gS
2 k
=
2πm
2
n gSλ
h 2
où S est l’aire du losange ABDC.
4. Si le plan ABDC fait un angle variable θ avec la verticale, discuter qualitativement la variation de la probabilité de détection des neutrons en fonction
de θ. Données numériques (Colella et al. [1975]) : λ =1.44 Å, S=10.1 cm
2 .
1.6.7 Diffusion cohérente et diffusion incohérente
de neutrons par un cristal
On se propose d’étudier la diffusion de neutrons par un cristal formé de
deux types de noyaux. Un site donné du cristal est occupé par un noyau de
type 1 avec une probabilité p 1 ou par un noyau de type 2 avec une probabilité
p 2 =1− p 1 . Le nombre total de noyaux est N ,e ti lyad o n cp 1 N noyaux
de type 1 et p 2 N noyaux de type 2 dans le cristal. Au site i, i =1 , ··· , N ,
on associe un nombre α i qui prend la valeur 1 si le site est occupé par un
noyau de type 1 et 0 s’il est occupé par un noyau de type 2. L’ensemble {α i }
des α i ,a v e c
i α i = p 1 N , définit une configuration du cristal. L’amplitude
43. L’énergie étant définie à une constante additive près, on fixe par convention le zéro
d’énergie de la façon suivante : un neutron de vitesse nulle et d’altitude z =0a une énergie
nulle.