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Physique quantique : Fondements
4. Chaque mode k du champ électromagnétique dans l’enceinte est un
oscillateur harmonique. En mécanique statistique classique, l’énergie d’un tel
mode est 2k B T (pourquoi ce facteur 2 ?). Montrer que la densité d’énergie
dans l’enceinte est
ǫ(T )=
1
π 2 (k B T )c
−3
∞
0
ω
2
dω
et en déduire A.
5. Démontrer (1.22) et vérifier que l’on retrouve l’expression classique pour
ω ≪ k B T , c’est-à-dire pour une température suffisamment grande à ω fixé.
Ceci est un résultat très général : l’approximation classique est valable à haute
température.
1.6.3 Inégalités de Heisenberg
Dans l’expérience théorique de la figure 1.12, montrer que l’impulsion δp x
communiquée à l’écran vaut pa/(2D),o ùa est la distance entre les fentes
F 1 et F 2 (figure 1.12) et p l’impulsion des photons. La détermination de la
trajectoire implique que ∆p x ≪ δp x ,o ù∆p x est la dispersion sur l’impulsion
initiale de l’écran. Quelle est alors la dispersion ∆x sur sur la position de
F 0 ? En déduire que les interférences sont alors détruites. Voir Wootters et
Zurek [1979].
1.6.4 Diffraction de neutrons par un cristal
La diffraction des neutrons est une des principales techniques d’analyse
de la structure des cristaux. On considère pour simplifier un cristal bidimensionnel composé d’atomes identiques, les vecteurs d’onde étant situés dans
le plan du cristal
40 . Les atomes du cristal se trouvent aux points du réseau
(figure 1.19)
r i = naˆ x + mbˆ yn =0, 1, ...N − 1;
m =0, 1, ...M − 1
Les neutrons interagissent avec les noyaux des atomes
41 par une interaction de
type nucléaire. On appelle f (θ) l’amplitude de probabilité pour qu’un neutron
d’impulsion k soit diffusé dans la direction ˆ
k
′ par un atome situé à l’origine
des coordonnées, θ étant l’angle entre ˆ
k et ˆ
k
′ . Comme l’énergie des neutrons
est très faible, ∼ 0.01 eV, f (θ) est indépendant de θ (§ 13.2.4) : f (θ)=f .L a
collision entre le neutron et le noyau atomique est élastique et l’état du cristal
est inchangé dans la collision : il est impossible de savoir quel atome a diffusé
un neutron.
40. On peut aussi envisager une diffusion 3D par un cristal 2D : cf. Wichman [1974],
chapitre 5, ce qui donne un modèle pour la diffraction par la surface d’un cristal.
41. Il existe aussi une interaction entre le moment magnétique du neutron et le magnétisme de l’atome, qui joue un rôle très important pour l’étude du magnétisme, mais qui ne
nous concerne pas dans ce problème.
Physique quantique : Fondements
4. Chaque mode k du champ électromagnétique dans l’enceinte est un
oscillateur harmonique. En mécanique statistique classique, l’énergie d’un tel
mode est 2k B T (pourquoi ce facteur 2 ?). Montrer que la densité d’énergie
dans l’enceinte est
ǫ(T )=
1
π 2 (k B T )c
−3
∞
0
ω
2
dω
et en déduire A.
5. Démontrer (1.22) et vérifier que l’on retrouve l’expression classique pour
ω ≪ k B T , c’est-à-dire pour une température suffisamment grande à ω fixé.
Ceci est un résultat très général : l’approximation classique est valable à haute
température.
1.6.3 Inégalités de Heisenberg
Dans l’expérience théorique de la figure 1.12, montrer que l’impulsion δp x
communiquée à l’écran vaut pa/(2D),o ùa est la distance entre les fentes
F 1 et F 2 (figure 1.12) et p l’impulsion des photons. La détermination de la
trajectoire implique que ∆p x ≪ δp x ,o ù∆p x est la dispersion sur l’impulsion
initiale de l’écran. Quelle est alors la dispersion ∆x sur sur la position de
F 0 ? En déduire que les interférences sont alors détruites. Voir Wootters et
Zurek [1979].
1.6.4 Diffraction de neutrons par un cristal
La diffraction des neutrons est une des principales techniques d’analyse
de la structure des cristaux. On considère pour simplifier un cristal bidimensionnel composé d’atomes identiques, les vecteurs d’onde étant situés dans
le plan du cristal
40 . Les atomes du cristal se trouvent aux points du réseau
(figure 1.19)
r i = naˆ x + mbˆ yn =0, 1, ...N − 1;
m =0, 1, ...M − 1
Les neutrons interagissent avec les noyaux des atomes
41 par une interaction de
type nucléaire. On appelle f (θ) l’amplitude de probabilité pour qu’un neutron
d’impulsion k soit diffusé dans la direction ˆ
k
′ par un atome situé à l’origine
des coordonnées, θ étant l’angle entre ˆ
k et ˆ
k
′ . Comme l’énergie des neutrons
est très faible, ∼ 0.01 eV, f (θ) est indépendant de θ (§ 13.2.4) : f (θ)=f .L a
collision entre le neutron et le noyau atomique est élastique et l’état du cristal
est inchangé dans la collision : il est impossible de savoir quel atome a diffusé
un neutron.
40. On peut aussi envisager une diffusion 3D par un cristal 2D : cf. Wichman [1974],
chapitre 5, ce qui donne un modèle pour la diffraction par la surface d’un cristal.
41. Il existe aussi une interaction entre le moment magnétique du neutron et le magnétisme de l’atome, qui joue un rôle très important pour l’étude du magnétisme, mais qui ne
nous concerne pas dans ce problème.