1. Introduction
41
Montrer que cette énergie est proportionnelle à (m e /µ)R ∞ où m e est la masse
de l’électron et R ∞ = m e e
4 /(2
2 )=e
2 /(2a 0 ).
5. La molécule peut aussi vibrer le long de la droite des noyaux autour de
sa position d’équilibre r = r 0 , la force de rappel étant de la forme −K(r − r 0 ),
avec Kr
2
0 = cR ∞ où c est un coefficient numérique ∼ 1. Quelles sont la
fréquence de vibration ω v et l’énergie ω v correspondante ? Montrer que cette
énergie est proportionnelle à
m e /µ R ∞ .Exemple:lamoléculedeHCl
35 ,où
les valeurs expérimentales sont r 0 =1.27 Å (0.127 nm), ε rot =1.3 × 10
−3 eV,
ω v =0 .36 eV. Calculer les valeurs numériques de b et c. Quelle serait la
longueur d’onde d’un photon ayant l’énergie ε rot , ω v ? Dans quels domaines
se trouvent ces longueurs d’onde ?
6. L’absence d’une théorie quantique de la gravitation oblige à limiter
toute théorie à des énergies plus petites que E P , l’énergie de Planck. Par un
argument dimensionnel, construire E P en fonction de la constante de gravitation G (1.5), et c et donner sa valeur numérique. Quelle est la longueur
correspondante, ou longueur de Planck l P ?
1.6.2 Le corps noir
1. Démontrer l’équation (note 22)
dxdpδ
E −
p
2
2m
−
1
2
mω
2 x
2
f (E)=
2π
ω
f (E)
2. On se propose de relier la densité d’énergie par unité de fréquence ǫ(ω, T )
à la puissance émise u(ω, T ) : équation (1.15). On considère une enceinte
portée à la température T (figure 1.4). Soit ˜
ǫ(k, T )d
3 k la densité d’énergie
dans d
3 k autour de k, qui ne dépend que de k = | k|.M o n t r e rq u e
˜
ǫ(k, T )=
c
4πk 2 ǫ(ω, T )
Le vecteur de Poynting pour une onde s’échappant de l’enceinte avec un vecteur d’onde k est c˜ ǫ(k, T ) ˆ
k. Montrer que le flux du vecteur de Poynting à
travers une ouverture d’aire S est
Φ=
1
4
cS
∞
0
ǫ(ω, T )dω
et en déduire (1.15).
3. Montrer par analyse dimensionnelle qu’en physique classique on doit
avoir pour la densité d’énergie du corps noir
ǫ(T )=A(k B T )c
−3
∞
0
ω
2 dω
où A est un coefficient numérique.
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Montrer que cette énergie est proportionnelle à (m e /µ)R ∞ où m e est la masse
de l’électron et R ∞ = m e e
4 /(2
2 )=e
2 /(2a 0 ).
5. La molécule peut aussi vibrer le long de la droite des noyaux autour de
sa position d’équilibre r = r 0 , la force de rappel étant de la forme −K(r − r 0 ),
avec Kr
2
0 = cR ∞ où c est un coefficient numérique ∼ 1. Quelles sont la
fréquence de vibration ω v et l’énergie ω v correspondante ? Montrer que cette
énergie est proportionnelle à
m e /µ R ∞ .Exemple:lamoléculedeHCl
35 ,où
les valeurs expérimentales sont r 0 =1.27 Å (0.127 nm), ε rot =1.3 × 10
−3 eV,
ω v =0 .36 eV. Calculer les valeurs numériques de b et c. Quelle serait la
longueur d’onde d’un photon ayant l’énergie ε rot , ω v ? Dans quels domaines
se trouvent ces longueurs d’onde ?
6. L’absence d’une théorie quantique de la gravitation oblige à limiter
toute théorie à des énergies plus petites que E P , l’énergie de Planck. Par un
argument dimensionnel, construire E P en fonction de la constante de gravitation G (1.5), et c et donner sa valeur numérique. Quelle est la longueur
correspondante, ou longueur de Planck l P ?
1.6.2 Le corps noir
1. Démontrer l’équation (note 22)
dxdpδ
E −
p
2
2m
−
1
2
mω
2 x
2
f (E)=
2π
ω
f (E)
2. On se propose de relier la densité d’énergie par unité de fréquence ǫ(ω, T )
à la puissance émise u(ω, T ) : équation (1.15). On considère une enceinte
portée à la température T (figure 1.4). Soit ˜
ǫ(k, T )d
3 k la densité d’énergie
dans d
3 k autour de k, qui ne dépend que de k = | k|.M o n t r e rq u e
˜
ǫ(k, T )=
c
4πk 2 ǫ(ω, T )
Le vecteur de Poynting pour une onde s’échappant de l’enceinte avec un vecteur d’onde k est c˜ ǫ(k, T ) ˆ
k. Montrer que le flux du vecteur de Poynting à
travers une ouverture d’aire S est
Φ=
1
4
cS
∞
0
ǫ(ω, T )dω
et en déduire (1.15).
3. Montrer par analyse dimensionnelle qu’en physique classique on doit
avoir pour la densité d’énergie du corps noir
ǫ(T )=A(k B T )c
−3
∞
0
ω
2 dω
où A est un coefficient numérique.