1. Introduction
37
où nous avons défini la quantité e
2 = q
2
e /(4πε 0 ). En éliminant la vitesse v
entre ces deux équations, on obtient le rayon de l’orbite
a =
n
2
2
m e e 2
(1.40)
Le cas n =1correspond à l’orbite de plus petit rayon, et ce rayon, appelé
rayon de Bohr,e s tn o t éa 0
a 0 =
2
m e e 2 ≃ 0.53 Å
(1.41)
L’énergie du niveau étiqueté par n est
E n =
1
2
m e v
2 −
e
2
a
= −
e
2
2a
= −
m e e
4
2n 2 2 = −
R ∞
n 2
Les niveaux d’énergie E n s’expriment en fonction de la constante de Rydberg
35
R ∞
R ∞ =
m e e
4
2 2 ≃ 13.6e V
(1.42)
sous la forme
E n = −
R ∞
n 2
(1.43)
Cette formule donne le spectre (des niveaux d’énergie) de l’atome d’hydrogène.
Le niveau fondamental correspond à n =1et l’énergie d’ionisation de l’atome
d’hydrogène est R ∞ . Les photons émis par l’atome d’hydrogène ont des
fréquences
ω nm = −R ∞
1
n 2 −
1
m 2
n>m
(1.44)
en parfait accord avec les données spectroscopiques sur l’hydrogène. La simplicité avec laquelle la théorie de Bohr permet de calculer le spectre de l’atome
d’hydrogène ne doit cependant pas masquer son caractère artificiel.
La généralisation par Sommerfeld de la théorie de Bohr consiste à postuler
la relation
p i dq i = nh
(1.45)
où q i et p i sont les coordonnées et les moments conjugués au sens de la mécanique classique et n un entier ≥ 1. Cependant, on sait aujourd’hui que les
conditions (1.45) ne sont valables que pour certains systèmes très particuliers,
les systèmes intégrables (§ 12.4.4) et pour n grand, sauf exception. La théorie
de Bohr-Sommerfeld est incapable de décrire les atomes à plusieurs électrons,
ainsi que les états de diffusion. Le succès de la théorie de Bohr pour l’atome
d’hydrogène est un hasard heureux !
35. La raison pour l’indice ∞ est la suivante : la théorie exposée ici suppose le
proton infiniment lourd. Tenir compte de la masse finie mp du proton modifie R∞ en
R∞(1/(1 + me/mp)) : cf. exercice 1.6.5.
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où nous avons défini la quantité e
2 = q
2
e /(4πε 0 ). En éliminant la vitesse v
entre ces deux équations, on obtient le rayon de l’orbite
a =
n
2
2
m e e 2
(1.40)
Le cas n =1correspond à l’orbite de plus petit rayon, et ce rayon, appelé
rayon de Bohr,e s tn o t éa 0
a 0 =
2
m e e 2 ≃ 0.53 Å
(1.41)
L’énergie du niveau étiqueté par n est
E n =
1
2
m e v
2 −
e
2
a
= −
e
2
2a
= −
m e e
4
2n 2 2 = −
R ∞
n 2
Les niveaux d’énergie E n s’expriment en fonction de la constante de Rydberg
35
R ∞
R ∞ =
m e e
4
2 2 ≃ 13.6e V
(1.42)
sous la forme
E n = −
R ∞
n 2
(1.43)
Cette formule donne le spectre (des niveaux d’énergie) de l’atome d’hydrogène.
Le niveau fondamental correspond à n =1et l’énergie d’ionisation de l’atome
d’hydrogène est R ∞ . Les photons émis par l’atome d’hydrogène ont des
fréquences
ω nm = −R ∞
1
n 2 −
1
m 2
n>m
(1.44)
en parfait accord avec les données spectroscopiques sur l’hydrogène. La simplicité avec laquelle la théorie de Bohr permet de calculer le spectre de l’atome
d’hydrogène ne doit cependant pas masquer son caractère artificiel.
La généralisation par Sommerfeld de la théorie de Bohr consiste à postuler
la relation
p i dq i = nh
(1.45)
où q i et p i sont les coordonnées et les moments conjugués au sens de la mécanique classique et n un entier ≥ 1. Cependant, on sait aujourd’hui que les
conditions (1.45) ne sont valables que pour certains systèmes très particuliers,
les systèmes intégrables (§ 12.4.4) et pour n grand, sauf exception. La théorie
de Bohr-Sommerfeld est incapable de décrire les atomes à plusieurs électrons,
ainsi que les états de diffusion. Le succès de la théorie de Bohr pour l’atome
d’hydrogène est un hasard heureux !
35. La raison pour l’indice ∞ est la suivante : la théorie exposée ici suppose le
proton infiniment lourd. Tenir compte de la masse finie mp du proton modifie R∞ en
R∞(1/(1 + me/mp)) : cf. exercice 1.6.5.