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Physique quantique : Fondements
La constante δ doit être solution de l’équation intégrale (B.9). Pour fixer les
idées, examinons la transition d’un état excité i d’un atome d’énergie E i vers
l’état fondamental f d’énergie E f de cet atome, avec émission d’un photon
d’énergie ω. On peut, à une excellente approximation, négliger l’énergie cinétique de recul de l’atome final dont l’énergie est simplement E f avec comme
choix de référentiel celui où l’atome est au repos dans son état initial (cf. la
discussion du § 15.3.3). La densité d’états finaux à utiliser dans (B.9) est celle
(17.126) du photon. En résumé, nous avons |a = |i et |b = atome dans
l’état f + photon = |f ⊗ ks, ainsi que la conservation de l’énergie
ω ab = E a − E b = E i − (E f + ω)=(ω 0 − ω)
(B.10)
avec ω 0 = E i −E f . L’équation (B.9) devient, en choisissant ω comme variable
d’intégration au lieu de E f ,d E b = dω
δ
2
=
∞
0
dω D(ω) |W ab (ω)|
2 1 − exp(i[ω 0 − ω + δ/2]t)
ω 0 − ω + δ/2
(B.11)
Nous sommes intéressés par le comportement de cette équation aux temps
longs, et nous avons besoind uc o m p o r t e m e n tp o u rt →∞de la fonction
f (t, x) considérée comme distribution
f (t, x)=
1 − e
itx
x
Lorsque x est réel, sa transformée de Fourier est
˜
f (t, u)=i[θ(u) − θ(t + u)]
(B.12)
car
−i
0
−t
dx e
−iux =
1 − e
itx
x
et la limite t →∞de ˜
f (t, u) est simplement −iθ(−u), ce qui donne pour
f (t, x)
lim
t→∞
f (t, x) = lim
η→0+
1
x + iη
= P
1
x
− iπδ(x)
(B.13)
Ce résultat est aussi valable lorsque x a une petite partie imaginaire, x =
Re x ± iη, η → 0
+
. Il suffit pour le voir d’intégrer sur x dans le plan complexe,
en complétant le contour d’intégration par un demi-cercle dont le rayon tend
vers l’infini. Si δ 1 et Γ sont petits par rapport aux intervalles caractéristiques
de variation des fonctions D(ω) et |W ab (ω)|
2 , on peut reporter (B.13) dans
(B.11) et déterminer la valeur de δ
δ =
2
P
∞
−∞
dω
D(ω)|W ab (ω)|
2
ω 0 − ω
−
2iπ
D(ω 0 )|W ab (ω 0 )|
2
(B.14)
Physique quantique : Fondements
La constante δ doit être solution de l’équation intégrale (B.9). Pour fixer les
idées, examinons la transition d’un état excité i d’un atome d’énergie E i vers
l’état fondamental f d’énergie E f de cet atome, avec émission d’un photon
d’énergie ω. On peut, à une excellente approximation, négliger l’énergie cinétique de recul de l’atome final dont l’énergie est simplement E f avec comme
choix de référentiel celui où l’atome est au repos dans son état initial (cf. la
discussion du § 15.3.3). La densité d’états finaux à utiliser dans (B.9) est celle
(17.126) du photon. En résumé, nous avons |a = |i et |b = atome dans
l’état f + photon = |f ⊗ ks, ainsi que la conservation de l’énergie
ω ab = E a − E b = E i − (E f + ω)=(ω 0 − ω)
(B.10)
avec ω 0 = E i −E f . L’équation (B.9) devient, en choisissant ω comme variable
d’intégration au lieu de E f ,d E b = dω
δ
2
=
∞
0
dω D(ω) |W ab (ω)|
2 1 − exp(i[ω 0 − ω + δ/2]t)
ω 0 − ω + δ/2
(B.11)
Nous sommes intéressés par le comportement de cette équation aux temps
longs, et nous avons besoind uc o m p o r t e m e n tp o u rt →∞de la fonction
f (t, x) considérée comme distribution
f (t, x)=
1 − e
itx
x
Lorsque x est réel, sa transformée de Fourier est
˜
f (t, u)=i[θ(u) − θ(t + u)]
(B.12)
car
−i
0
−t
dx e
−iux =
1 − e
itx
x
et la limite t →∞de ˜
f (t, u) est simplement −iθ(−u), ce qui donne pour
f (t, x)
lim
t→∞
f (t, x) = lim
η→0+
1
x + iη
= P
1
x
− iπδ(x)
(B.13)
Ce résultat est aussi valable lorsque x a une petite partie imaginaire, x =
Re x ± iη, η → 0
+
. Il suffit pour le voir d’intégrer sur x dans le plan complexe,
en complétant le contour d’intégration par un demi-cercle dont le rayon tend
vers l’infini. Si δ 1 et Γ sont petits par rapport aux intervalles caractéristiques
de variation des fonctions D(ω) et |W ab (ω)|
2 , on peut reporter (B.13) dans
(B.11) et déterminer la valeur de δ
δ =
2
P
∞
−∞
dω
D(ω)|W ab (ω)|
2
ω 0 − ω
−
2iπ
D(ω 0 )|W ab (ω 0 )|
2
(B.14)