Annexes
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total indépendant du temps H = H
(0) + W . Nous pouvons supposer que les
éléments de matrice diagonaux de W sont nuls
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: W aa = W bb =0et nous
notons |ψ(t) le vecteur d’état du système, dont l’état initial est |ψ(t =0) =
|a. Décomposons l’état |ψ(t) sur les états |a et |b en faisant intervenir la
densité d’états D(E b )
|ψ(t) = γ a (t)e
−iEat/ |a +
dE b D(E b ) γ b (t) e
−iE b t/
(B.2)
L’équation de Schrödinger appliquée sur la décomposition (B.2)
i
d|ψ(t)
dt
=
H
(0) + W
|ψ(t)
conduit au système d’équations différentielles (cf. (8.144))
i ˙
γ a (t)=
e
iω ab t W ab γ b (t)D(E b )dE b
(B.3)
i ˙
γ b (t)=e
−iω ab t W
∗
ab γ a (t)
(B.4)
avec ω ab =( E a − E b )/. Nous savons empiriquement que |γ a (t)|
2 est donné
par une loi exponentielle
|γ a (t)|
2 = e
−Γt
(B.5)
ce qui suggère d’essayer un comportement
γ a (t)=exp
−
iδ
2
t
δ = δ 1 − iΓ
(B.6)
où δ 1 est réel. La substitution de (B.6) dans (B.4) avec les conditions initiales
γ b (t =0)=0donne par intégration sur t
γ b (t)=
W
∗
ab
[ω ab + δ/2]
exp (−i(ω ab + δ/2)t) − 1
(B.7)
Pour des temps longs, t ≫ Γ
−1 , l’exponentielle dans (B.7) tend rapidement
vers zéro et
lim
t→∞
|γ b (t)|
2 =
|W ab |
2
2
(ω ab + δ 1 /2) 2 +Γ 2 /4
(B.8)
Pour vérifier la cohérence de notre hypothèse de départ avec les équations
d’évolution (B.3) et (B.4), il faut reporter (B.6) dans (B.3), ce qui donne
δ
2
=
dE b D(E b ) |W ab |
2 1 − exp(i[ω ab + δ/2]t)
(ω ab + δ/2)
(B.9)
8. Si tel n’était pas le cas, on pourrait toujours redéfinir H (0)
H
(0) → H
(0) ′ = H
(0) + |a Waa a| +
dE b D(E b ) |b W bb b|