Annexes
483
Le deuxième terme du membre de droite de (B.14) confirme que Γ=−i Im δ
est bien donné par la règle d’or de Fermi
Γ=
2π
D(ω 0 )|W ab (ω 0 )|
2
(B.15)
tandis que le premier terme correspond au déplacement du niveau d’énergie
Re δ = δ 1 =
2
P
∞
−∞
dω
D(ω)|W ab (ω)|
2
ω 0 − ω
(B.16)
Ce déplacement aurait pu être obtenu par un calcul au second ordre en théorie
des perturbations indépendantes du temps ; il est nul au premier ordre d’après
notre hypothèse W aa = W bb =0 .O np e u ta b s o r b e rδ 1 dans une redéfinition
de ω 0 : ω 0 → ω 0 + δ 1 et d’après (B.8), la probabilité d’observer un photon de
fréquence ω est
p(ω) dω ≃
D(ω 0 )|W ab (ω 0 )|
2
(ω − ω 0 ) 2 +Γ 2 /4
dω
(B.17)
Cette probabilité est correctement normalisée à l’unité
+∞
−∞
p(ω) dω =1 car
+∞
−∞
dx
x 2 + a 2 =
π
a
compte tenu de la valeur (B.15) de Γ. La courbe représentative de p(ω) est
une lorentzienne (aussi appelée courbe de Breit-Wigner)
p(ω)=
D(ω 0 )|W ab (ω 0 )|
2
(ω − ω 0 ) 2 +Γ 2 /4
(B.18)
La fréquence du photon final n’a pas une valeur bien déterminée : elle présente
une “dispersion"
9 ∆ω =Γ, définie comme la largeur à mi-hauteur de la courbe
p(ω)
p
ω 0 ±
1
2
∆ω
=
1
2
p(ω = ω 0 )
En d’autres termes, le spectre de fréquences du photon émis n’est pas monochromatique. La quantité Γ est appelée largeur de raie ou parfois largeur naturelle de raie, étant donné qu’il existe d’autres causes d’élargissement comme
l’effet Doppler ou les collisions ; en raison de (B.5), la vie moyenne de l’état
excité est l’inverse de la largeur de raie, τ =1 /Γ. La dispersion en énergie
du photon final montre, par conservation de l’énergie, que l’énergie de l’état
excité présente une dispersion ∆E = Γ, et nous en déduisons la relation
(4.29) entre la vie moyenne et la dispersion sur l’énergie
9. Dispersion est à mettre entre guillemets car l’intégrale
∞
0
dω(ω − ω 0 )
2 p(ω)
est divergente, et on ne peut pas définir une dispersion au sens strict du terme.
483
Le deuxième terme du membre de droite de (B.14) confirme que Γ=−i Im δ
est bien donné par la règle d’or de Fermi
Γ=
2π
D(ω 0 )|W ab (ω 0 )|
2
(B.15)
tandis que le premier terme correspond au déplacement du niveau d’énergie
Re δ = δ 1 =
2
P
∞
−∞
dω
D(ω)|W ab (ω)|
2
ω 0 − ω
(B.16)
Ce déplacement aurait pu être obtenu par un calcul au second ordre en théorie
des perturbations indépendantes du temps ; il est nul au premier ordre d’après
notre hypothèse W aa = W bb =0 .O np e u ta b s o r b e rδ 1 dans une redéfinition
de ω 0 : ω 0 → ω 0 + δ 1 et d’après (B.8), la probabilité d’observer un photon de
fréquence ω est
p(ω) dω ≃
D(ω 0 )|W ab (ω 0 )|
2
(ω − ω 0 ) 2 +Γ 2 /4
dω
(B.17)
Cette probabilité est correctement normalisée à l’unité
+∞
−∞
p(ω) dω =1 car
+∞
−∞
dx
x 2 + a 2 =
π
a
compte tenu de la valeur (B.15) de Γ. La courbe représentative de p(ω) est
une lorentzienne (aussi appelée courbe de Breit-Wigner)
p(ω)=
D(ω 0 )|W ab (ω 0 )|
2
(ω − ω 0 ) 2 +Γ 2 /4
(B.18)
La fréquence du photon final n’a pas une valeur bien déterminée : elle présente
une “dispersion"
9 ∆ω =Γ, définie comme la largeur à mi-hauteur de la courbe
p(ω)
p
ω 0 ±
1
2
∆ω
=
1
2
p(ω = ω 0 )
En d’autres termes, le spectre de fréquences du photon émis n’est pas monochromatique. La quantité Γ est appelée largeur de raie ou parfois largeur naturelle de raie, étant donné qu’il existe d’autres causes d’élargissement comme
l’effet Doppler ou les collisions ; en raison de (B.5), la vie moyenne de l’état
excité est l’inverse de la largeur de raie, τ =1 /Γ. La dispersion en énergie
du photon final montre, par conservation de l’énergie, que l’énergie de l’état
excité présente une dispersion ∆E = Γ, et nous en déduisons la relation
(4.29) entre la vie moyenne et la dispersion sur l’énergie
9. Dispersion est à mettre entre guillemets car l’intégrale
∞
0
dω(ω − ω 0 )
2 p(ω)
est divergente, et on ne peut pas définir une dispersion au sens strict du terme.